Defina uma relação R sobre R^2, como sendo: forall(a, b),(c, d) in R^2
(a, b) R(c, d) Long<=ftrightarrow a^2+b^2=c^2+d^2
Mostre que R é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalências:
[(0,0)],[(1,1)],[(1,2)]
Descreva todas as classes de equivalências de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a relação definida em é uma relação de equivalência. Além disso, precisamos determinar as classes de equivalência de alguns pares específicos e descrever todas as classes de equivalência de . Para isso, vamos utilizar os conceitos de equivalência, que envolvem reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação .

Passo 3

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer , temos que , o que é verdade. Portanto, é reflexiva.

Passo 4

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que , então . Como a igualdade é bidirecional, se , então necessariamente . Assim, é simétrica.

Passo 5

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e , então . Se e , então . Portanto, é transitiva.

Passo 6

Como é reflexiva, simétrica e transitiva, podemos concluir que é uma relação de equivalência.

Passo 7

Agora, vamos determinar as classes de equivalência para os pares , e .

Passo 8

Classe de equivalência de [(0,0)] = (c, d) in R^2 mid 0^2 + 0^2 = c^2 + d^2 :
[(0,0)] = (c, d) in R^2 mid c^2 + d^2 = 0
Ou seja:
[(0,0)] = (0, 0)
A única solução é e . Portanto:

Passo 9

Classe de equivalência de [(1,1)] = (c, d) in R^2 mid 1^2 + 1^2 = c^2 + d^2 :
[(1,1)] = (c, d) in R^2 mid c^2 + d^2 = 2
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio centrada na origem.

Passo 10

Classe de equivalência de [(1,2)] = (c, d) in R^2 mid 1^2 + 2^2 = c^2 + d^2 :
[(1,2)] = (c, d) in R^2 mid c^2 + d^2 = 5
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio centrada na origem.

Passo 11

Finalmente, para descrever todas as classes de equivalência de , observamos que cada classe é formada por todos os pontos em que estão na mesma circunferência com raio , onde . Assim, cada classe de equivalência corresponde a uma circunferência de raio fixo no plano.

Resposta

A relação é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são:
  • é a circunferência de raio centrada na origem
  • é a circunferência de raio centrada na origem
Todas as classes de equivalência de correspondem a circunferências com raio no plano .

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x R y Long<=ftrightarrow 2(x-y) in Z
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