Mostre que é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalências:
Descreva todas as classes de equivalências de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a relação definida em é uma relação de equivalência. Além disso, precisamos determinar as classes de equivalência de alguns pares específicos e descrever todas as classes de equivalência de . Para isso, vamos utilizar os conceitos de equivalência, que envolvem reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação .
Passo 3
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer , temos que , o que é verdade. Portanto, é reflexiva.
Passo 4
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que , então . Como a igualdade é bidirecional, se , então necessariamente . Assim, é simétrica.
Passo 5
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e , então . Se e , então . Portanto, é transitiva.
Passo 6
Como é reflexiva, simétrica e transitiva, podemos concluir que é uma relação de equivalência.
Passo 7
Agora, vamos determinar as classes de equivalência para os pares , e .
Passo 8
Classe de equivalência de :
Ou seja:
A única solução é e . Portanto:
Passo 9
Classe de equivalência de :
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio centrada na origem.
Passo 10
Classe de equivalência de :
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio centrada na origem.
Passo 11
Finalmente, para descrever todas as classes de equivalência de , observamos que cada classe é formada por todos os pontos em que estão na mesma circunferência com raio , onde . Assim, cada classe de equivalência corresponde a uma circunferência de raio fixo no plano.
Resposta
A relação é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são:
é a circunferência de raio centrada na origem
é a circunferência de raio centrada na origem
Todas as classes de equivalência de correspondem a circunferências com raio no plano .