Defina uma relação
sobre
, como sendo:
Mostre que
é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalências:
Descreva todas as classes de equivalências de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a relação
definida em
é uma relação de equivalência. Além disso, precisamos determinar as classes de equivalência de alguns pares específicos e descrever todas as classes de equivalência de
. Para isso, vamos utilizar os conceitos de equivalência, que envolvem reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é de equivalência se ela for reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação
.
Passo 3
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, para qualquer
, temos que
, o que é verdade. Portanto,
é reflexiva.
Passo 4
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que
, então
. Como a igualdade
é bidirecional, se
, então necessariamente
. Assim,
é simétrica.
Passo 5
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
. Se
e
, então
. Portanto,
é transitiva.
Passo 6
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, podemos concluir que
é uma relação de equivalência.
Passo 7
Agora, vamos determinar as classes de equivalência para os pares
,
e
.
Passo 8
Classe de equivalência de
:
Ou seja:
A única solução é
e
. Portanto:
Passo 9
Classe de equivalência de
:
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 10
Classe de equivalência de
:
Ou seja:
Esta é a circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 11
Finalmente, para descrever todas as classes de equivalência de
, observamos que cada classe é formada por todos os pontos
em
que estão na mesma circunferência com raio
, onde
. Assim, cada classe de equivalência corresponde a uma circunferência de raio fixo no plano.
Resposta
A relação
é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são:
-
-
é a circunferência de raio centrada na origem -
é a circunferência de raio centrada na origem
Todas as classes de equivalência de
correspondem a circunferências com raio
no plano
.