Considere . Sendo e em determine um vetor desse espaço tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um vetor no espaço que satisfaça duas condições de produto interno com os vetores e . Pra resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor como , onde e são números que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o produto interno. O produto interno entre dois vetores e em é calculado assim:
Então, temos duas equações baseadas nas condições dadas:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar .

Passo 5

Somando as duas equações:
Então, dividindo os dois lados por 3:

Passo 6

Com o valor de , vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é:

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