Considere V=R^2. Sendo u=(1,2) e v=(-1,1) em R^2 determine um vetor w desse espaço tal que lang<= u, wrang<==-1 e lang<= v, wrang<==-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um vetor no espaço que satisfaça duas condições de produto interno com os vetores e . Pra resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor como , onde e são números que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o produto interno. O produto interno entre dois vetores lang<= a, b rang<= = a1 cdot b1 + a2 cdot b2 e lang<= u, w rang<= = 1 cdot x + 2 cdot y = -1 em lang<= v, w rang<= = (-1) cdot x + 1 cdot y = -1 é calculado assim:
Então, temos duas equações baseadas nas condições dadas:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = -1 - x + y = -1
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar .

Passo 5

Somando as duas equações:
(x + 2y) + (-x + y) = -1 + (-1)
3y = -2
Então, dividindo os dois lados por 3:
y = -23

Passo 6

Com o valor de - x + (-23) = -1 , vamos substituir na segunda equação para encontrar - x = -1 + 23 :
- x = -13
x = 13
Multiplicando ambos os lados por -1:

Resposta

O vetor w = ( 13, -23 ) que satisfaz as condições dadas é:

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