Considere os pontos A=(1,1), B=(4,2) e C=(2,3).
© Encontre a equação das retas mediatrizes aos segmentos A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria. A gente tem três pontos no plano: , e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação das retas mediatrizes dos segmentos e . Para isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto médio de um segmento e a inclinação das retas, além de como determinar a equação de uma reta a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento MAB = ( x1 + x22, y1 + y22 ) . O ponto médio de um segmento cujas extremidades são MAB = ( 1 + 42, 1 + 22 ) = ( 52, 32 ) = ( 2.5, 1.5 ) e é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos determinar a inclinação da reta m = y2 - y1x2 - x1 . A inclinação mAB = 2 - 14 - 1 = 13 de uma reta que passa por dois pontos mperp = -1mAB = -113 = -3 e é dada por:
Para a reta :
A mediatriz é perpendicular a , então a inclinação da mediatriz será o negativo do inverso de :

Passo 4

Com o ponto médio y - y0 = m (x - x0) e a inclinação y - 1.5 = -3 (x - 2.5) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - 1.5 = -3x + 7.5
Onde y = -3x + 7.5 + 1.5 y = -3x + 9 é o ponto médio e y = -3x + 9 é a inclinação. Substituindo:
Distribuindo o -3:
Isolando :
Então, a equação da mediatriz de é:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar a mediatriz do segmento MAC = ( 1 + 22, 1 + 32 ) = ( 32, 42 ) = ( 1.5, 2 ) .
Primeiro, o ponto médio de :

Passo 6

Agora, a inclinação da reta mAC = 3 - 12 - 1 = 21 = 2 :
mperp = -1mAC = -12
A inclinação da mediatriz será:

Passo 7

Usando a fórmula da equação da reta com y - 2 = -12 (x - 1.5) e 2(y - 2) = - (x - 1.5) 2y - 4 = -x + 1.5 x + 2y = 5.5 :
x + 2y = 5.5
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:
Portanto, a equação da mediatriz de pode ser escrita como:

Resposta

As equações das retas mediatrizes são:
y = -3x + 9
e
x + 2y = 5.5

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