Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(j) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial específico. Aqui, o espaço é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores (ou matrizes, no nosso caso) que resulta em um número real. Para que essa função seja um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades básicas:
Simetria: para todas as matrizes e em .
Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos argumentos. Isso significa que e , onde é um escalar.
Positividade: para toda matriz em , e se e somente se é a matriz zero.
Vamos verificar essas propriedades para a função dada:
onde e .
Passo 3
Verificando a Simetria:
Vamos ver se .
Calculando :
Observamos que:
Então,
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, queremos ver se:
para quaisquer matrizes .
Se , então:
Calculando :
Distribuindo os termos:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita. A linearidade no segundo argumento pode ser verificada de forma semelhante.
Passo 5
Verificando a Positividade:
Agora, vamos checar se para toda matriz , e que somente quando é a matriz zero.
Calculando :
Para que isso seja sempre não negativo, precisamos garantir que .
No entanto, se escolhermos e , temos:
Se escolhermos, por exemplo, e , então:
Isso mostra que a positividade não é garantida para todas as matrizes em .
Resposta
Não, a função dada não é um produto interno em porque não satisfaz a propriedade de positividade.