Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para verificar se uma determinada estrutura matemática é um espaço vetorial sobre os números reais. A estrutura dada é
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma forma específica envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se essa estrutura os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, é importante relembrar que um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações como somar vetores, multiplicar por números reais e ainda assim ficar dentro do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos listar os principais axiomas que um espaço vetorial deve satisfazer:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade da multiplicação escalar:
- Elemento neutro da multiplicação escalar:
- Distributividade sobre a multiplicação escalar:
- Distributividade sobre a adição de escalares:
Passo 4
Vamos agora verificar se as operações dadas na estrutura
com:
satisfazem esses axiomas.
Passo 5
Comutatividade da adição:
Vamos testar com dois vetores, por exemplo,
e
.
Parece que a adição é comutativa nesse caso.
Passo 6
Elemento neutro da adição:
Devemos encontrar um vetor
tal que, para todo
,
.
Vamos tentar
:
Isso é igual a
somente se
e
forem não negativos. Para vetores com componentes negativas, isso não é verdade. Por exemplo, para
:
Então, o elemento neutro não existe para todos os vetores em
.
Passo 7
Elemento inverso da adição:
Mesmo que o elemento neutro não exista adequadamente, vamos verificar se existe um inverso para um vetor qualquer.
Para
, esperamos um
tal que:
Mas, com as operações dadas:
Isso funciona para vetores com componentes não negativas. Porém, para
:
Parece que aqui os inversos existem, mas pelo passo anterior, já sabemos que o elemento neutro não funciona para todos os vetores, o que já quebra alguns axiomas.
Passo 8
Compatibilidade da multiplicação escalar:
Vamos testar se
.
Tomemos
,
, e
:
Nesse caso, funciona. Mas, se considerarmos
,
:
Parece manter a propriedade, mas isso não é suficiente para garantir que todos os axiomas estão satisfeitos.
Passo 9
Distributividade sobre a multiplicação escalar:
Vamos verificar se
.
Tomemos
,
,
:
Aqui, a distributividade não é satisfeita.
Passo 10
Conclusão
Analisando os passos anteriores, vimos que:
- O elemento neutro da adição não funciona para todos os vetores em
. - A distributividade da multiplicação escalar sobre a adição de vetores não é satisfeita.
Portanto, a estrutura
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre os números reais, pois não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.
Resposta
A estrutura
com as operações definidas não é um espaço vetorial real, já que não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.