Quais das seguintes estruturas (V, R, oplus, odot) são espaços vetoriais reais ( V representa um conjunto, oplus e odot representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
1.2 V=R^2 com as operações:
(x1, x2) oplus(y1, y2) & =(|x1+y1|,|x2+y2|) alpha odot(x1, x2) & =(|alpha x1|,|alpha x2|), alpha in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para verificar se uma determinada estrutura matemática é um espaço vetorial sobre os números reais. A estrutura dada é com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma forma específica envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se essa estrutura os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, é importante relembrar que um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações como somar vetores, multiplicar por números reais e ainda assim ficar dentro do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos listar os principais axiomas que um espaço vetorial deve satisfazer:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação escalar:
  7. Distributividade sobre a multiplicação escalar:
  8. Distributividade sobre a adição de escalares:

Passo 4

Vamos agora verificar se as operações dadas na estrutura (x1, x2) oplus(y1, y2) & =(|x1+y1|,|x2+y2|) alpha odot(x1, x2) & =(|alpha x1|,|alpha x2|), com:
satisfazem esses axiomas.

Passo 5

Comutatividade da adição:
Vamos testar com dois vetores, por exemplo, u oplus v = (|1+3|, |2+4|) = (4, 6) e v oplus u = (|3+1|, |4+2|) = (4, 6) .
Parece que a adição é comutativa nesse caso.

Passo 6

Elemento neutro da adição:
Devemos encontrar um vetor u oplus 0 = (|x1 + 0|, |x2 + 0|) = (|x1|, |x2|) tal que, para todo u oplus 0 = (|-1 + 0|, |-2 + 0|) = (1, 2) neq u , .
Vamos tentar :
Isso é igual a somente se e forem não negativos. Para vetores com componentes negativas, isso não é verdade. Por exemplo, para :
Então, o elemento neutro não existe para todos os vetores em .

Passo 7

Elemento inverso da adição:
Mesmo que o elemento neutro não exista adequadamente, vamos verificar se existe um inverso para um vetor qualquer.
Para u oplus (-u) = 0 , esperamos um u oplus (-u) = (|1 + (-1)|, |2 + (-2)|) = (0, 0) = 0 tal que:
u oplus (-u) = (|-1 + 1|, |-2 + 2|) = (0, 0) = 0
Mas, com as operações dadas:
Isso funciona para vetores com componentes não negativas. Porém, para :
Parece que aqui os inversos existem, mas pelo passo anterior, já sabemos que o elemento neutro não funciona para todos os vetores, o que já quebra alguns axiomas.

Passo 8

Compatibilidade da multiplicação escalar:
Vamos testar se beta u = |-1 times 1|, |-1 times 1|) = (1, 1) .
Tomemos alpha (beta u) = |-1 times 1|, |-1 times 1|) = (1, 1) , (alpha beta) u = |1 times 1|, |1 times 1|) = (1, 1) , e beta u = |(-1) times 1|, |(-1) times 1|) = (1, 1) :
alpha (beta u) = |1 times 1|, |1 times 1|) = (1, 1)
(alpha beta) u = |(-1) times 1|, |(-1) times 1|) = (1, 1)
Nesse caso, funciona. Mas, se considerarmos , :
Parece manter a propriedade, mas isso não é suficiente para garantir que todos os axiomas estão satisfeitos.

Passo 9

Distributividade sobre a multiplicação escalar:
Vamos verificar se u oplus v = (|1 + (-3)|, |-2 + 4|) = (2, 2) .
Tomemos alpha (u oplus v) = |(-1) times 2|, |(-1) times 2|) = (2, 2) , alpha u = |(-1) times 1|, |(-1) times (-2)|) = (1, 2) , alpha v = |(-1) times (-3)|, |(-1) times 4|) = (3, 4) :
alpha u oplus alpha v = (|1 + 3|, |2 + 4|) = (4, 6) neq (2, 2)
Aqui, a distributividade não é satisfeita.

Passo 10

Conclusão
Analisando os passos anteriores, vimos que:
  • O elemento neutro da adição não funciona para todos os vetores em .
  • A distributividade da multiplicação escalar sobre a adição de vetores não é satisfeita.
Portanto, a estrutura com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre os números reais, pois não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.

Resposta

A estrutura com as operações definidas não é um espaço vetorial real, já que não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.

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