Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para verificar se uma determinada estrutura matemática é um espaço vetorial sobre os números reais. A estrutura dada é com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma forma específica envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se essa estrutura os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, é importante relembrar que um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz uma série de regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que podemos fazer operações como somar vetores, multiplicar por números reais e ainda assim ficar dentro do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos listar os principais axiomas que um espaço vetorial deve satisfazer:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação escalar:
  7. Distributividade sobre a multiplicação escalar:
  8. Distributividade sobre a adição de escalares:

Passo 4

Vamos agora verificar se as operações dadas na estrutura com:
satisfazem esses axiomas.

Passo 5

Comutatividade da adição:
Vamos testar com dois vetores, por exemplo, e .
Parece que a adição é comutativa nesse caso.

Passo 6

Elemento neutro da adição:
Devemos encontrar um vetor tal que, para todo , .
Vamos tentar :
Isso é igual a somente se e forem não negativos. Para vetores com componentes negativas, isso não é verdade. Por exemplo, para :
Então, o elemento neutro não existe para todos os vetores em .

Passo 7

Elemento inverso da adição:
Mesmo que o elemento neutro não exista adequadamente, vamos verificar se existe um inverso para um vetor qualquer.
Para , esperamos um tal que:
Mas, com as operações dadas:
Isso funciona para vetores com componentes não negativas. Porém, para :
Parece que aqui os inversos existem, mas pelo passo anterior, já sabemos que o elemento neutro não funciona para todos os vetores, o que já quebra alguns axiomas.

Passo 8

Compatibilidade da multiplicação escalar:
Vamos testar se .
Tomemos , , e :
Nesse caso, funciona. Mas, se considerarmos , :
Parece manter a propriedade, mas isso não é suficiente para garantir que todos os axiomas estão satisfeitos.

Passo 9

Distributividade sobre a multiplicação escalar:
Vamos verificar se .
Tomemos , , :
Aqui, a distributividade não é satisfeita.

Passo 10

Conclusão
Analisando os passos anteriores, vimos que:
  • O elemento neutro da adição não funciona para todos os vetores em .
  • A distributividade da multiplicação escalar sobre a adição de vetores não é satisfeita.
Portanto, a estrutura com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre os números reais, pois não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.

Resposta

A estrutura com as operações definidas não é um espaço vetorial real, já que não satisfaz os axiomas do elemento neutro da adição e da distributividade da multiplicação escalar.

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Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(j) .
Seja a matriz:
(a) (5 pontos) Encontre o determinante de .