Considere os pontos
.
Mostre que
são pontos não colineares.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que os pontos
,
e
não estão todos na mesma linha, ou seja, que eles são não colineares. Vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam esses pontos. Vamos calcular o vetor
e o vetor
.
-
Vetor
: É a diferença das coordenadas de e . -
Vetor
: É a diferença das coordenadas de e .
Passo 3
Agora, para verificar se os pontos são colineares, precisamos ver se o vetor
é paralelo ao vetor
. Ou seja, se existe um número real
tal que:
Vamos tentar encontrar esse
:
Vamos verificar as outras componentes com
:
Como não existe um
que satisfaça todas as componentes, os vetores
e
não são paralelos.
Resposta
Portanto, os pontos
,
e
são não colineares.
Exercícios relacionados
Seja o operador
dado por
. Determine uma base para
.
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: h)
;
Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
. Calcular
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(paraboloide hiperbólico)