Considere os pontos A=(2,1,1), B=(0,-1,2), C=(-1,0,-1).
Mostre que A, B, C são pontos não colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que os pontos , e não estão todos na mesma linha, ou seja, que eles são não colineares. Vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam esses pontos. Vamos calcular o vetor AB = B - A = (0-2,, -1-1,, 2-1) = (-2,, -2,, 1) e o vetor AC = C - A = (-1-2,, 0-1,, -1-1) = (-3,, -1,, -2) .
  • Vetor : É a diferença das coordenadas de e .
  • Vetor : É a diferença das coordenadas de e .

Passo 3

Agora, para verificar se os pontos são colineares, precisamos ver se o vetor AB = lambda cdot AC é paralelo ao vetor -2 = lambda cdot (-3) Rightarrow lambda = -2-3 = 23 . Ou seja, se existe um número real -2 stackrel?= 23 cdot (-1) Rightarrow -2 neq -23 tal que:
Vamos tentar encontrar esse :
Vamos verificar as outras componentes com :
Como não existe um que satisfaça todas as componentes, os vetores e não são paralelos.

Resposta

Portanto, os pontos , e são não colineares.

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