Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(paraboloide hiperbólico)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que você precisa fazer nesse exercício. A questão pede para a gente pegar a equação quadrática
e transformá-la, se necessário, na forma canônica. Depois disso, precisamos identificar que tipo de superfície quadrática ela representa e, por fim, desenhar o gráfico dessa superfície usando um aplicativo como o GeoGebra.
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as quadricas, e entender como transformar equações para a sua forma canônica. Também vamos aplicar manipulação algébrica para reorganizar a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a forma canônica de uma equação quadrática. A forma canônica facilita a identificação do tipo de superfície que a equação representa. Para quadricas, a forma canônica depende dos termos presentes na equação.
No nosso caso, a equação é
. Observamos que temos termos quadráticos em
e
, e um termo linear em
.
Para transformar essa equação na forma canônica, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por 36:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação obtida:
Essa é a forma canônica da nossa equação quadrática. Observando os sinais e os coeficientes dos termos quadráticos, podemos identificar que essa equação representa um paraboloide hiperbólico.
Um paraboloide hiperbólico é uma superfície quadrática que possui curvaturas opostas em direções perpendiculares. Isso significa que, em uma direção, a superfície é côncava, e na outra, é convexa.
Passo 4
Com a equação na forma canônica e identificando o tipo de superfície, vamos agora pensar em como representar graficamente esse paraboloide hiperbólico. Para isso, podemos usar o GeoGebra, que é uma ferramenta online gratuita para visualização de gráficos matemáticos.
No GeoGebra, você pode inserir a equação na forma que obtivemos:
Ao inserir essa equação, o GeoGebra irá gerar o gráfico correspondente, permitindo visualizar a forma da superfície e suas características geométricas.
Resposta
Transformamos a equação
para a forma canônica
, identificando-a como um paraboloide hiperbólico. O gráfico dessa superfície pode ser construído utilizando o GeoGebra inserindo a equação na forma canônica.
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Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
. Calcular
Considere os pontos
.
Mostre que são pontos não colineares.
Mostre que
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(cilindro parabólico)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(cilindro circular)