Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u=(3,1) e triplica o comprimento do vetor v=(1,3), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores (3,1),(1,3) formam uma base do R^2. Calcular T(3,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação linear que atua em vetores do plano . Sabemos que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem mudar as direções nem inverter os sentidos. A base do espaço é formada por esses dois vetores . Nosso objetivo é calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como é uma transformação linear, podemos determinar sua ação conhecendo como ela age sobre uma base do espaço. Já que é uma base de , podemos expressar qualquer vetor, incluindo , como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Vamos escrever o vetor (3,3) = a cdot (3,1) + b cdot (1,3) como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares 3a + 1b = 3 1a + 3b = 3 e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 3a + 9b = 9 e (3a + 9b) - (3a + b) = 9 - 3 8b = 6 b = 68 = 34 .
Primeira equação: 3a + 34 = 3 3a = 3 - 34 3a = 94 a = 94 div 3 = 912 = 34
Segunda equação:
Podemos resolver multiplicando a segunda equação por 3:
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos T(u) = 2u = 2 cdot (3,1) = (6,2) e T(v) = 3v = 3 cdot (1,3) = (3,9) , podemos aplicar a transformação usando esses coeficientes.
Sabemos que dobra o comprimento de e triplica o comprimento de . Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação linear T(3,3) = a cdot T(u) + b cdot T(v) T(3,3) = 34 cdot (6,2) + 34 cdot (3,9) no vetor 34 cdot 6 + 34 cdot 3 = 184 + 94 = 274 :
34 cdot 2 + 34 cdot 9 = 64 + 274 = 334
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Resposta

Assim, .

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