Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
. Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação linear
que atua em vetores do plano
. Sabemos que
dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem mudar as direções nem inverter os sentidos. A base do espaço é formada por esses dois vetores
. Nosso objetivo é calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como
é uma transformação linear, podemos determinar sua ação conhecendo como ela age sobre uma base do espaço. Já que
é uma base de
, podemos expressar qualquer vetor, incluindo
, como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Vamos escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Segunda equação:
Podemos resolver multiplicando a segunda equação por 3:
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar a transformação
usando esses coeficientes.
Sabemos que
dobra o comprimento de
e triplica o comprimento de
. Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformação linear
no vetor
:
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Resposta
Assim,
.
Exercícios relacionados
Considere os pontos
.
Mostre que são pontos não colineares.
Mostre que
Seja o operador
dado por
. Determine uma base para
.
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(paraboloide hiperbólico)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência):
(cilindro parabólico)