Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . Calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação linear que atua em vetores do plano . Sabemos que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem mudar as direções nem inverter os sentidos. A base do espaço é formada por esses dois vetores . Nosso objetivo é calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como é uma transformação linear, podemos determinar sua ação conhecendo como ela age sobre uma base do espaço. Já que é uma base de , podemos expressar qualquer vetor, incluindo , como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Vamos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos resolver multiplicando a segunda equação por 3:
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a transformação usando esses coeficientes.
Sabemos que dobra o comprimento de e triplica o comprimento de . Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação linear no vetor :
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Resposta

Assim, .

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Considere os pontos .
Mostre que são pontos não colineares.
Seja o operador dado por . Determine uma base para .
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide hiperbólico)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cilindro parabólico)