Considere os pontos e .
Determine a projeção de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Vetores! O problema nos dá quatro pontos no espaço e pede para encontrarmos a projeção do vetor AB sobre o vetor CD. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos, encontrar a projeção de um vetor sobre outro usando produto escalar e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e CD a partir dos pontos dados. O vetor AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
Já o vetor CD é obtido subtraindo as coordenadas de C das coordenadas de D:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula para projetar o vetor sobre é:
Isso significa que precisamos:
Calcular o produto escalar ().
Calcular o quadrado da norma de ().
Multiplicar o resultado do quociente pelo vetor .
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 5
Agora, calculamos o quadrado da norma de :
Passo 6
Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção: