Considere os pontos e .
Determine a projeção de sobre C D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Vetores! O problema nos dá quatro pontos no espaço e pede para encontrarmos a projeção do vetor AB sobre o vetor CD. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos, encontrar a projeção de um vetor sobre outro usando produto escalar e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e CD a partir dos pontos dados. O vetor AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (2-1, , 0-2, , 0-(-1)) = (1, , -2, , 1)
Já o vetor CD é obtido subtraindo as coordenadas de C das coordenadas de D:
CD = D - C = (0-(-1), , 2-1, , 0 - y) = (1, , 1, , -y)
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula para projetar o vetor projCD AB = ( AB cdot CD|CD|^2 ) CD sobre é:
Isso significa que precisamos:
Calcular o produto escalar ().
Calcular o quadrado da norma de ().
Multiplicar o resultado do quociente pelo vetor .
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar AB cdot CD = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(-y) = 1 - 2 - y = -1 - y :
Passo 5
Agora, calculamos o quadrado da norma de |CD|^2 = 1^2 + 1^2 + (-y)^2 = 1 + 1 + y^2 = 2 + y^2 :
Passo 6
Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção: