Considere os pontos e .
Determine a projeção de sobre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Vetores! O problema nos dá quatro pontos no espaço e pede para encontrarmos a projeção do vetor AB sobre o vetor CD. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos, encontrar a projeção de um vetor sobre outro usando produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e CD a partir dos pontos dados. O vetor AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
Já o vetor CD é obtido subtraindo as coordenadas de C das coordenadas de D:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula para projetar o vetor sobre é:
Isso significa que precisamos:
  1. Calcular o produto escalar ( ).
  2. Calcular o quadrado da norma de ( ).
  3. Multiplicar o resultado do quociente pelo vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, calculamos o quadrado da norma de :

Passo 6

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
Isso resulta na projeção:
Simplificando, temos:

Resposta

A projeção de sobre é:

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