Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,0), C=(-1,1, y) e D=(0,2,0).
Determine a projeção de A B sobre C D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Vetores! O problema nos dá quatro pontos no espaço e pede para encontrarmos a projeção do vetor AB sobre o vetor CD. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos, encontrar a projeção de um vetor sobre outro usando produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e CD a partir dos pontos dados. O vetor AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (2-1, , 0-2, , 0-(-1)) = (1, , -2, , 1)
Já o vetor CD é obtido subtraindo as coordenadas de C das coordenadas de D:
CD = D - C = (0-(-1), , 2-1, , 0 - y) = (1, , 1, , -y)

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula para projetar o vetor projCD AB = ( AB cdot CD|CD|^2 ) CD sobre é:
Isso significa que precisamos:
  1. Calcular o produto escalar ( ).
  2. Calcular o quadrado da norma de ( ).
  3. Multiplicar o resultado do quociente pelo vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot CD = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(-y) = 1 - 2 - y = -1 - y :

Passo 5

Agora, calculamos o quadrado da norma de |CD|^2 = 1^2 + 1^2 + (-y)^2 = 1 + 1 + y^2 = 2 + y^2 :

Passo 6

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
projCD AB = ( -1 - y2 + y^2 ) cdot (1, , 1, , -y)
Isso resulta na projeção:
projCD AB = ( -1 - y2 + y^2 ) cdot 1 i + ( -1 - y2 + y^2 ) cdot 1 j + ( -1 - y2 + y^2 ) cdot (-y) k
Simplificando, temos:
projCD AB = ( -1 - y2 + y^2 ) (1, , 1, , -y ) = ( -1 - y2 + y^2, ; -1 - y2 + y^2, ; y(1 + y)2 + y^2 )

Resposta

A projeção de projCD AB = ( -1 - y2 + y^2, ; -1 - y2 + y^2, ; y(1 + y)2 + y^2 ) sobre é:

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