Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
Plano em que passa pela origem, ortogonal a , dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto dado, que é um plano em que passa pela origem e é ortogonal a um vetor , é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço. Vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero em é . Para estar em , ele precisa satisfazer a equação:
Como qualquer vetor dotado com o zero resulta em zero, é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso quer dizer que, se a gente pegar dois vetores quaisquer e que estão em , a soma deles também deve estar em .
Sabemos que:
Então, a soma dos vetores dotado com é:
Como , o vetor também está em . Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente pegar um vetor em e multiplicar por qualquer escalar , o vetor resultante também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando por um escalar , temos:
Como , o vetor também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, verificamos que o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto é um subespaço de .

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Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto das matrizes antissimétricas é subespaço de .
Considere o subespaço vetorial e . O vetor pertence a ? Justifique sua resposta.
Considere os pontos e .
Determine a projeção de sobre .
Determine o valor de para que os pontos e pertençam a uma mesma reta.