Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
Plano em que passa pela origem, ortogonal a , dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto dado, que é um plano em que passa pela origem e é ortogonal a um vetor , é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço. Vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero em é . Para estar em , ele precisa satisfazer a equação:
Como qualquer vetor dotado com o zero resulta em zero, é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto .
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso quer dizer que, se a gente pegar dois vetores quaisquer e que estão em , a soma deles também deve estar em .
Sabemos que:
Então, a soma dos vetores dotado com é:
Como , o vetor também está em . Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente pegar um vetor em e multiplicar por qualquer escalar , o vetor resultante também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando por um escalar , temos:
Como , o vetor também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto é um subespaço de .