Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
Plano
em
que passa pela origem, ortogonal a
, dado:
Plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto dado, que é um plano
em
que passa pela origem e é ortogonal a um vetor
, é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço. Vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero em
é
. Para estar em
, ele precisa satisfazer a equação:
Como qualquer vetor dotado com o zero resulta em zero,
é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob adição. Isso quer dizer que, se a gente pegar dois vetores quaisquer
e
que estão em
, a soma deles
também deve estar em
.
Sabemos que:
Então, a soma dos vetores
dotado com
é:
Como
, o vetor
também está em
. Assim, o conjunto
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente pegar um vetor
em
e multiplicar por qualquer escalar
, o vetor resultante
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando por um escalar
, temos:
Como
, o vetor
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto
é um subespaço de
.