Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto
das matrizes antissimétricas é subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Temos o conjunto
que consiste nas matrizes
antissimétricas. Queremos mostrar que
é um subespaço do espaço das matrizes
, denotado por
. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear, como subespaços e propriedades das matrizes antissimétricas.
Passo 2
Para provar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três propriedades básicas:
- Contém a matriz nula.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 3
Propriedade 1: Contém a matriz nula
A matriz nula
é uma matriz
onde todas as entradas são zero. Vamos verificar se
:
Como a transposta da matriz nula é ela mesma, temos:
Portanto, a matriz nula está em
.
Passo 4
Propriedade 2: Fechamento sob adição
Sejam
e
duas matrizes em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também é antissimétrica, ou seja,
.
Calculando a transposta de
:
Substituindo
e
:
Observe que:
Portanto:
Isso mostra que
é antissimétrica, ou seja,
.
Passo 5
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar
Seja
e
um escalar qualquer. Queremos mostrar que
também é antissimétrica, ou seja,
.
Calculando a transposta de
:
Como
, temos
. Substituindo:
Portanto:
Isso mostra que
é antissimétrica, ou seja,
.
Resposta
Comprovamos que o conjunto
das matrizes antissimétricas
satisfaz todas as propriedades de um subespaço de
. Portanto,
é realmente um subespaço de
.