Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto T=A in M2 times 2: A=-A^prime das matrizes antissimétricas é subespaço de M2 times 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos o conjunto que consiste nas matrizes antissimétricas. Queremos mostrar que é um subespaço do espaço das matrizes , denotado por . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear, como subespaços e propriedades das matrizes antissimétricas.

Passo 2

Para provar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades básicas:
  1. Contém a matriz nula.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 3

Propriedade 1: Contém a matriz nula
A matriz nula 0 = -0^prime é uma matriz 0 = -0 Rightarrow 0 = 0 onde todas as entradas são zero. Vamos verificar se :
Como a transposta da matriz nula é ela mesma, temos:
Portanto, a matriz nula está em .

Passo 4

Propriedade 2: Fechamento sob adição
Sejam A = -A^prime e B = -B^prime duas matrizes em (A + B)^prime = A^prime + B^prime . Isso significa que:
(A + B)^prime = -A - B
-(A + B) = -A - B
Queremos mostrar que (A + B)^prime = -(A + B) também é antissimétrica, ou seja, .
Calculando a transposta de :
Substituindo e :
Observe que:
Portanto:
Isso mostra que é antissimétrica, ou seja, .

Passo 5

Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar
Seja (cA)^prime = cA^prime e (cA)^prime = c(-A) = -cA um escalar qualquer. Queremos mostrar que (cA)^prime = -cA também é antissimétrica, ou seja, .
Calculando a transposta de :
Como , temos . Substituindo:
Portanto:
Isso mostra que é antissimétrica, ou seja, .

Resposta

Comprovamos que o conjunto das matrizes antissimétricas satisfaz todas as propriedades de um subespaço de . Portanto, é realmente um subespaço de .

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