Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços.
O conjunto das matrizes antissimétricas é subespaço de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Temos o conjunto que consiste nas matrizes antissimétricas. Queremos mostrar que é um subespaço do espaço das matrizes , denotado por . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear, como subespaços e propriedades das matrizes antissimétricas.
Passo 2
Para provar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades básicas:
Contém a matriz nula.
É fechado sob adição.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 3
Propriedade 1: Contém a matriz nula
A matriz nula é uma matriz onde todas as entradas são zero. Vamos verificar se :
Como a transposta da matriz nula é ela mesma, temos:
Portanto, a matriz nula está em .
Passo 4
Propriedade 2: Fechamento sob adição
Sejam e duas matrizes em . Isso significa que:
Queremos mostrar que também é antissimétrica, ou seja, .
Calculando a transposta de :
Substituindo e :
Observe que:
Portanto:
Isso mostra que é antissimétrica, ou seja, .
Passo 5
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar
Seja e um escalar qualquer. Queremos mostrar que também é antissimétrica, ou seja, .
Calculando a transposta de :
Como , temos . Substituindo:
Portanto:
Isso mostra que é antissimétrica, ou seja, .
Resposta
Comprovamos que o conjunto das matrizes antissimétricas satisfaz todas as propriedades de um subespaço de . Portanto, é realmente um subespaço de .