Justifique, com argumentos ou contraexemplos, que os conjuntos abaixo não são (necessariamente) subespaços vetoriais.
Qualquer conjunto de
que não contenha a origem
.
Qualquer conjunto de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um conjunto qualquer dentro de
que não inclui a origem, ou seja, o ponto
. A questão quer que a gente justifique, usando argumentos ou contraexemplos, por que esse tipo de conjunto não é necessariamente um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os requisitos para que um conjunto seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior (nesse caso,
) precisa satisfazer três condições básicas:
- Conter a origem: O vetor zero
deve estar no conjunto. - Ser fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Ser fechado sob multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos focar na primeira condição: conter a origem. Se um conjunto não inclui o vetor zero, logo ele já falha nesse primeiro teste para ser um subespaço vetorial. Isso porque, sem a presença da origem, não há garantia de que as outras condições serão satisfeitas. Por exemplo, se tentarmos multiplicar um vetor do conjunto por zero (um número escalar), deveríamos obter o vetor zero, mas como o conjunto não contém
, essa operação não está fechada dentro do conjunto.
Resposta
Então, qualquer conjunto de
que não contenha a origem
não pode ser um subespaço vetorial, pois não satisfaz a condição essencial de conter o vetor zero.