Determine o valor de k para que os pontos A=(0,-1), B=(3,5) e C=(1, k) pertençam a uma mesma reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que os três pontos , e estejam todos na mesma reta. Isso envolve o conteúdo de colinearidade de pontos e cálculo de inclinação (ou coeficiente angular). Vamos precisar usar a fórmula da inclinação entre dois pontos para garantir que a inclinação entre e seja a mesma que entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = 5 - (-1)3 - 0 = 63 = 2 . A fórmula para a inclinação entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Agora, queremos que o ponto mAC = k - (-1)1 - 0 = k + 11 = k + 1 esteja na mesma reta. Isso significa que a inclinação entre mAB = mAC e 2 = k + 1 também deve ser . Vamos usar a mesma fórmula para encontrar :
Como as inclinações devem ser iguais:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora é só resolver a equação para encontrar k + 1 = 2 k = 2 - 1 k = 1 :

Resposta

O valor de que faz os pontos , e estarem na mesma reta é .

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