Sejam A=(1,5,-4), B=(0,1,-1), C=(2,0,-1) e D=(0,2,3).
Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B e C e D.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A = (1,5,-4), B = (0,1,-1), C = (2,0,-1) e D = (0,2,3). Precisamos calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vértices. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto de vetores.

Passo 2

Para calcular o volume do paralelepípedo, precisamos identificar três vetores que definem suas arestas a partir de um vértice. Vamos escolher o ponto A como base. Assim, os vetores serão:
AB = B - A = (0-1, 1-5, -1 - (-4)) = (-1, -4, 3)
AC = C - A = (2-1, 0-5, -1 - (-4)) = (1, -5, 3)
AD = D - A = (0-1, 2-5, 3 - (-4)) = (-1, -3, 7)

Passo 3

O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto desses três vetores. A fórmula para isso é:
V = | AB cdot (AC times AD) |
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial AC times AD.

Passo 4

Para calcular o produto vetorial AC times AD, usamos a seguinte matriz determinante:
AC times AD = i & j & k 1 & -5 & 3 -1 & -3 & 7
Calculando o determinante:
AC times AD = i cdot (-5 cdot 7 - 3 cdot (-3)) - j cdot (1 cdot 7 - 3 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot (-3) - (-5) cdot (-1))
Simplificando cada componente:
AC times AD = i cdot (-35 + 9) - j cdot (7 + 3) + k cdot (-3 - 5)
AC times AD = (-26, -10, -8)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot (AC times AD):
AB = (-1, -4, 3)
AC times AD = (-26, -10, -8)
Calculando o produto escalar:
V = | (-1)(-26) + (-4)(-10) + (3)(-8) | = | 26 + 40 - 24 | = | 42 | = 42

Resposta

O volume do paralelepípedo é 42 unidades cúbicas.

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