Sejam e .
Calcule o volume do paralelepípedo de vértices e e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . Precisamos calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vértices. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto de vetores.
Passo 2
Para calcular o volume do paralelepípedo, precisamos identificar três vetores que definem suas arestas a partir de um vértice. Vamos escolher o ponto como base. Assim, os vetores serão:
Passo 3
O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto desses três vetores. A fórmula para isso é:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial AC times AD.
Passo 4
Para calcular o produto vetorial AC times AD, usamos a seguinte matriz determinante:
AC times AD = i & j & k 1 & -5 & 3 -1 & -3 & 7
Calculando o determinante:
AC times AD = i cdot (-5 cdot 7 - 3 cdot (-3)) - j cdot (1 cdot 7 - 3 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot (-3) - (-5) cdot (-1))
Simplificando cada componente:
AC times AD = i cdot (-35 + 9) - j cdot (7 + 3) + k cdot (-3 - 5)
AC times AD = (-26, -10, -8)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot (AC times AD):