Considere os pontos e a reta que passa pelos pontos e . Determine os pontos de modo que a área do triângulo seja igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos que estão na reta (que passa pelos pontos e ) de forma que a área do triângulo seja igual a 2. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e cálculo de áreas de triângulos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta:
Agora, usando a forma reduzida da equação da reta , e sabendo que passa pelo ponto , podemos encontrar o coeficiente linear :
Portanto, a equação da reta é:

Passo 3

Agora, vamos representar qualquer ponto na reta usando um parâmetro. Podemos escrever como , onde é a coordenada de .

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo , usamos a fórmula da área de um triângulo formada por três pontos no plano:
Á
Substituindo os pontos , e , a expressão fica:
Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da área:
Á
Queremos que essa área seja igual a 2:
Isso significa que ou .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de para cada valor de :
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .

Resposta

Os pontos na reta que satisfazem a condição são e .

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