Considere os pontos A=(1,1), B=(2,2), D=(4,2) e a reta r que passa pelos pontos A e D. Determine os pontos C in r de modo que a área do triângulo A B C seja igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos que estão na reta (que passa pelos pontos e ) de forma que a área do triângulo seja igual a 2. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e cálculo de áreas de triângulos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação da reta m = yD - yAxD - xA = 2 - 14 - 1 = 13 que passa pelos pontos 1 = 13 cdot 1 + b implies b = 1 - 13 = 23 e y = 13x + 23 . Para isso, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta:
Agora, usando a forma reduzida da equação da reta , e sabendo que passa pelo ponto , podemos encontrar o coeficiente linear :
Portanto, a equação da reta é:

Passo 3

Agora, vamos representar qualquer ponto na reta usando um parâmetro. Podemos escrever como , onde é a coordenada de .

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo Área = 12 |(xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB))| , usamos a fórmula da área de um triângulo formada por três pontos no plano:
Área = 12 |1(2 - (13x + 23)) + 2((13x + 23) - 1) + x(1 - 2)| Á
Substituindo os pontos , e , a expressão fica:
Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da área:
Área &= 12 |1(2 - 13x - 23) + 2(13x + 23 - 1) + x(-1)| &= 12 |2 - 13x - 23 + 23x + 43 - 2 - x| &= 12 |(2 - 23 + 43 - 2) + (-13x + 23x - x)| &= 12 |0 + (-23x)| &= 12 cdot 23|x| &= 13|x| Á
Queremos que essa área seja igual a 2:
13|x| = 2 implies |x| = 6
Isso significa que ou .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de y = 13 cdot 6 + 23 = 2 + 23 = 83 para cada valor de y = 13 cdot (-6) + 23 = -2 + 23 = -43 :
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .

Resposta

Os pontos na reta que satisfazem a condição são e .

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