Considere os pontos A(2,0) e B(0,4) dados em relação ao sistema cartesiano ortogonal xOy. Se esses pontos são extremos de um diâmetro de uma circunferência, então a equação reduzida dessa circunferência é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem os pontos e que são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. Nosso objetivo é achar a equação reduzida dessa circunferência. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o centro e o raio da circunferência usando esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. Como xm = x1 + x22, ym = y1 + y22 e xm = 2 + 02 = 1, ym = 0 + 42 = 2 são os extremos de um diâmetro, o centro é o ponto médio entre eles. Para achar o ponto médio entre e , usamos a fórmula:
Aplicando os valores dos pontos:
Então, o centro da circunferência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da circunferência. Sabemos que D = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e D = raiz(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2 = raiz(-2)^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 são extremos do diâmetro, então a distância entre eles é o diâmetro r = D2 = raiz202 = 2raiz52 = raiz5 . Para achar , usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
O raio é metade do diâmetro:

Passo 4

Com o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (raiz5)^2 , podemos montar a equação reduzida da circunferência. A forma geral é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
Onde é o centro e é o raio. Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação reduzida da circunferência é .

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