Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência alpha e a reta r, de equações x^2+y^2 -6 x+2 y+6=0 e 3 x+7 y-21=0. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de alpha, tem equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência alpha com a equação x^2 + y^2 -6x +2y +6=0 e uma reta r com a equação 3x +7y -21=0. Queremos encontrar a equação da reta s, que é paralela a r e passa pelo centro da circunferência alpha. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o centro de uma circunferência a partir da sua equação geral e como determinar a equação de uma reta paralela que passa por um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro da circunferência alpha. A equação geral de uma circunferência é x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Sabemos que o centro (h, k) é dado por h = -D2 e k = -E2. No nosso caso, a equação é x^2 + y^2 -6x +2y +6=0, então D = -6 e E = 2.

Passo 3

Calculando o centro:
h = -D2 = --62 = 3
k = -E2 = -22 = -1
Portanto, o centro da circunferência alpha é (3, -1).

Passo 4

Agora, vamos determinar a inclinação da reta r. A equação dada é 3x +7y -21=0. Podemos reescrever essa equação na forma inclinação-intercepto, y = mx + b, para identificar o coeficiente angular m.

Passo 5

Reescrevendo a equação de r:
3x +7y -21=0 Rightarrow 7y = -3x +21 Rightarrow y = -37x + 3
Então, a inclinação da reta r é m = -37.

Passo 6

Como a reta s é paralela a r, elas têm a mesma inclinação. Portanto, a inclinação de s também é m = -37.

Passo 7

Sabemos que a reta s passa pelo ponto (3, -1) e tem inclinação -37. Vamos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = -37 e (x1, y1) = (3, -1):
y - (-1) = -37(x - 3)
y + 1 = -37x + 97

Passo 8

Vamos simplificar a equação para a forma geral:
y = -37x + 97 -1
y = -37x + 97 - 77
y = -37x + 27

Resposta

A equação da reta s é y = -37x + 27.

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