Determine o centro e o raio de cada circunferência.
x^2+y^2+40 x+20 y+499=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação dada: . Para isso, vamos utilizar o conceito de completar o quadrado, que nos permite reescrever a equação da circunferência na forma padrão , onde é o centro e é o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 40x + y^2 + 20y = -499 e os termos de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em (402)^2 = 20^2 = 400 . Para isso, tomamos o coeficiente de x^2 + 40x + 400 - 400 + y^2 + 20y = -499 , que é 40, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos em (202)^2 = 10^2 = 100 . O coeficiente de x^2 + 40x + 400 - 400 + y^2 + 20y + 100 - 100 = -499 é 20:
Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 5

Agora, reescrevemos os grupos de (x + 20)^2 - 400 + (y + 10)^2 - 100 = -499 e como quadrados perfeitos:
Isso porque e .

Passo 6

Simplificamos a equação somando os termos constantes:
(x + 20)^2 + (y + 10)^2 - 500 = -499
Adicionamos 500 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
(x + 20)^2 + (y + 10)^2 = -499 + 500
(x + 20)^2 + (y + 10)^2 = 1

Passo 7

Agora, a equação está na forma padrão h = -20, k = -10, r^2 = 1 . Comparando, temos:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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