Determine o centro e o raio de cada circunferência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação dada: . Para isso, vamos utilizar o conceito de completar o quadrado, que nos permite reescrever a equação da circunferência na forma padrão , onde é o centro e é o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e os termos de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em . Para isso, tomamos o coeficiente de , que é 40, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos em . O coeficiente de é 20:
Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 5

Agora, reescrevemos os grupos de e como quadrados perfeitos:
Isso porque e .

Passo 6

Simplificamos a equação somando os termos constantes:
Adicionamos 500 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:

Passo 7

Agora, a equação está na forma padrão . Comparando, temos:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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e