Determine o centro e o raio de cada circunferência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação dada:
. Para isso, vamos utilizar o conceito de completar o quadrado, que nos permite reescrever a equação da circunferência na forma padrão
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
. Para isso, tomamos o coeficiente de
, que é 40, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos em
. O coeficiente de
é 20:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 5
Agora, reescrevemos os grupos de
e
como quadrados perfeitos:
Isso porque
e
.
Passo 6
Simplificamos a equação somando os termos constantes:
Adicionamos 500 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 7
Agora, a equação está na forma padrão
. Comparando, temos:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio é
.
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Considere os pontos
e
dados em relação ao sistema cartesiano ortogonal xOy. Se esses pontos são extremos de um diâmetro de uma circunferência, então a equação reduzida dessa circunferência é dada por:
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e