Determine o centro e o raio de cada circunferência.
x^2+y^2+10 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria! O enunciado pede para encontrar o centro e o raio de uma circunferência dada pela equação . Para isso, vamos usar o conteúdo de equações da circunferência e aprenderemos como completar o quadrado para deixar a equação na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. A equação dada é:
x^2 + y^2 + 10y = 0
Podemos reescrever isso agrupando os termos de x^2 + (y^2 + 10y) = 0 :

Passo 3

Agora, precisamos completar o quadrado para o termo que envolve . Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em um quadrado perfeito mais ou menos um número. Para o termo , seguimos estes passos:
  1. Pegue o coeficiente de , que é 10, e divida por 2: .
  2. Eleve esse resultado ao quadrado: .

Passo 4

Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação para manter o equilíbrio:
x^2 + (y^2 + 10y + 25 - 25) = 0
Isso simplifica para:
x^2 + (y + 5)^2 - 25 = 0

Passo 5

Agora, trazemos o -25 para o outro lado da equação para isolarmos os termos quadráticos:
x^2 + (y + 5)^2 = 25

Passo 6

Essa é a forma padrão da equação de uma circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde x^2 + (y + 5)^2 = 25 é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que , e .

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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