Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
r: x+y-5=0 e lambda: x^2+y^2+2 x+2 y-16=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir como a reta está posicionada em relação à circunferência . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da equação da circunferência e a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão x^2 + y^2 + 2x + 2y - 16 = 0 , onde (x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = 16 é o centro e (x + 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 = 16 é o raio.
A equação dada é:
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 18
Vamos completar o quadrado para e :
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância D = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 entre o centro da circunferência a = 1, b = 1, c = -5 e a reta D = |1 cdot (-1) + 1 cdot (-1) - 5|raiz1^2 + 1^2 = |-1 -1 -5|raiz2 = 7raiz2 = 7raiz22 approx 4.95 . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Vamos comparar essa distância 7raiz22 approx 4.95 > 3raiz2 approx 4.24 com o raio .
  • Se : a reta não toca a circunferência (são separadas).
  • Se : a reta é tangente à circunferência (tocam em um ponto).
  • Se : a reta corta a circunferência (intersectam em dois pontos).
No nosso caso:

Resposta

A reta e a circunferência estão separadas, ou seja, não se interceptam.

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