Considere os pontos e . Determine um ponto que pertence à reta e um ponto que não.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de geometria analítica onde temos dois pontos no espaço, e . A tarefa é encontrar um ponto que está na reta que passa por esses dois pontos e outro que não está nessa reta. Vamos precisar usar conceitos de vetores e equações paramétricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta que passa pelos pontos e pode ser descrita usando um vetor diretor. Esse vetor diretor é dado pela diferença dos vetores posição de e . Então, calculamos:
Esse vetor será o nosso vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, para escrever a equação paramétrica da reta, usamos o ponto e o vetor diretor . A equação paramétrica fica assim:
Aqui, é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Para encontrar um ponto que está na reta, podemos escolher um valor específico para . Por exemplo, se escolhermos , substituímos na equação paramétrica:
Então, o ponto está na reta (inclusive é o ponto que já conhecíamos).

Passo 5

Para ter um ponto diferente na reta, vamos escolher outro valor para . Vamos dizer :
Então, o ponto também está na reta.

Passo 6

Agora, para encontrar um ponto que não está na reta, podemos escolher qualquer ponto que não satisfaça as equações paramétricas acima. Por exemplo, vamos pegar o ponto e verificar se ele está na reta.
Para que esteja na reta, deve existir algum que satisfaça:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda:
Como não há um único valor de que satisfaz todas as equações, o ponto não está na reta.

Resposta

Um ponto que pertence à reta é e um ponto que não pertence à reta é .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto de de modo que seja contínua.
a)
b) .
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Encontre a distância entre o ponto e a reta, nos seguintes casos:
Determine se os planos são paralelos, nos seguintes casos: