Considere os pontos A = (1, -1, 5) e B = (-3, 6, -9). Determine um ponto que pertence à reta e um ponto que não.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de geometria analítica onde temos dois pontos no espaço, A = (1, -1, 5) e B = (-3, 6, -9). A tarefa é encontrar um ponto que está na reta que passa por esses dois pontos e outro que não está nessa reta. Vamos precisar usar conceitos de vetores e equações paramétricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta que passa pelos pontos A e B pode ser descrita usando um vetor diretor. Esse vetor diretor é dado pela diferença dos vetores posição de B e A. Então, calculamos:
Esse vetor será o nosso vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, para escrever a equação paramétrica da reta, usamos o ponto A e o vetor diretor . A equação paramétrica fica assim:
Aqui, t é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Para encontrar um ponto que está na reta, podemos escolher um valor específico para t. Por exemplo, se escolhermos , substituímos na equação paramétrica:
Então, o ponto está na reta (inclusive é o ponto B que já conhecíamos).

Passo 5

Para ter um ponto diferente na reta, vamos escolher outro valor para t. Vamos dizer :
Então, o ponto também está na reta.

Passo 6

Agora, para encontrar um ponto que não está na reta, podemos escolher qualquer ponto que não satisfaça as equações paramétricas acima. Por exemplo, vamos pegar o ponto e verificar se ele está na reta.
Para que esteja na reta, deve existir algum t que satisfaça:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda:
Como não há um único valor de t que satisfaz todas as equações, o ponto não está na reta.

Resposta

Um ponto que pertence à reta é e um ponto que não pertence à reta é .

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