Determine o conjunto de R^2 de modo que f seja contínua.
a) f(x) = (x-2)/((x*y - 2*x - y + 2)*(y+1))
b) f(x) = ln((x+y)/(x^2-y^2)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto de R^2 onde cada função f é contínua. Isso envolve analisar as condições de continuidade para funções racionais e logarítmicas. Precisaremos verificar onde o denominador não é zero e, no caso da função logaritmo, onde o argumento é positivo.

a)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Como temos frações, precisamos garantir que os denominadores não sejam zero.

Passo 3

Vamos analisar cada fator do denominador separadamente:

Passo 4

Resolveremos cada equação:

  1. Podemos reescrever como
    Portanto, ou , ou seja, x = 1 ou
  2. implica

Passo 5

Juntando tudo, a função é contínua em todos os pontos de R^2, exceto onde:
  • x = 1 ou

Passo 6

Agora, vamos verificar onde a função logarítmica é contínua. O argumento do logaritmo deve ser positivo e o denominador da fração dentro do logaritmo não pode ser zero.

Passo 7

Vamos analisar as condições:

Passo 8

Primeiro, o denominador:

Então, x != y e
Agora, a fração deve ser positiva:
Isso implica que , ou seja,

Passo 9

Juntando as condições:
  • x != y

Resposta

Portanto, o conjunto onde é contínua é o conjunto de todos os (x, y) em R^2 tais que e . Em termos matemáticos:

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