Determine o conjunto de
de modo que
seja contínua.
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto de
onde cada função
é contínua. Isso envolve analisar as condições de continuidade para funções racionais e logarítmicas. Precisaremos verificar onde o denominador não é zero e, no caso da função logaritmo, onde o argumento é positivo.
a)
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Como temos frações, precisamos garantir que os denominadores não sejam zero.
Passo 3
Vamos analisar cada fator do denominador separadamente:
Passo 4
Resolveremos cada equação:
-
Podemos reescrever como
Portanto,ou , ou seja, ou -
implica
Passo 5
Juntando tudo, a função
é contínua em todos os pontos de
, exceto onde:
-
ou -
Passo 6
Agora, vamos verificar onde a função logarítmica é contínua. O argumento do logaritmo deve ser positivo e o denominador da fração dentro do logaritmo não pode ser zero.
Passo 7
Vamos analisar as condições:
Passo 8
Primeiro, o denominador:
Então, e
Então,
Agora, a fração deve ser positiva:
Isso implica que
, ou seja,
Passo 9
Juntando as condições:
Resposta
Portanto, o conjunto onde
é contínua é o conjunto de todos os
tais que
e
. Em termos matemáticos:
Exercícios relacionados
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
a) .
b) .
c) .
d) .
a)
b)
c)
d)
Considere os pontos
e
. Determine um ponto que pertence à reta e um ponto que não.
Encontre a distância entre o ponto e a reta, nos seguintes casos: