Determine o conjunto de
de modo que
seja contínua.
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o conjunto de
onde cada função
é contínua. Isso envolve analisar as condições de continuidade para funções racionais e logarítmicas. Precisaremos verificar onde o denominador não é zero e, no caso da função logaritmo, onde o argumento é positivo.
a)
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Como temos frações, precisamos garantir que os denominadores não sejam zero.
Passo 3
Vamos analisar cada fator do denominador separadamente:
Passo 4
Resolveremos cada equação:
-
Podemos reescrever como
Portanto,ou , ou seja, ou -
implica
Passo 5
Juntando tudo, a função
é contínua em todos os pontos de
, exceto onde:
-
ou -
Passo 6
Agora, vamos verificar onde a função logarítmica é contínua. O argumento do logaritmo deve ser positivo e o denominador da fração dentro do logaritmo não pode ser zero.
Passo 7
Vamos analisar as condições:
Passo 8
Primeiro, o denominador:
Então, e
Então,
Agora, a fração deve ser positiva:
Isso implica que
, ou seja,
Passo 9
Juntando as condições:
Resposta
Portanto, o conjunto onde
é contínua é o conjunto de todos os
tais que
e
. Em termos matemáticos: