Considere os pontos A=(1,3) e B=(-2,0). Determine os pontos que dividem o segmento A B em 5 segmentos de igual comprimento. Obtenha também o pontno X que divide o segmento em média e extrema razão (veja o Exercício 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos que dividem o segmento que liga os pontos e em 5 partes iguais. Além disso, precisamos encontrar o ponto que divide esse segmento na razão média e extrema. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula de divisão de segmentos em partes iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dividir o segmento em 5 partes iguais. Imagine que você tem uma régua que mede o comprimento total de e quer marcar 4 pontos igualmente espaçados entre e . Esses pontos vão dividir em 5 segmentos de igual comprimento.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas desses pontos, podemos usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma determinada razão. A fórmula geral para encontrar um ponto que divide o segmento P = ( m cdot xB + n cdot xAm + n, m cdot yB + n cdot yAm + n ) na razão é:
Como queremos dividir em 5 partes iguais, os pontos interiores serão encontrados nas razões e .

Passo 4

Vamos calcular cada ponto:
  1. Primeiro ponto ( P1 = ( 1 cdot (-2) + 4 cdot 15, 1 cdot 0 + 4 cdot 35 ) = ( -2 + 45, 0 + 125 ) = ( 25, 125 ) ) na razão P2 = ( 2 cdot (-2) + 3 cdot 15, 2 cdot 0 + 3 cdot 35 ) = ( -4 + 35, 0 + 95 ) = ( -15, 95 ) :
P3 = ( 3 cdot (-2) + 2 cdot 15, 3 cdot 0 + 2 cdot 35 ) = ( -6 + 25, 0 + 65 ) = ( -45, 65 )
  1. Segundo ponto ( P4 = ( 4 cdot (-2) + 1 cdot 15, 4 cdot 0 + 1 cdot 35 ) = ( -8 + 15, 0 + 35 ) = ( -75, 35 ) ) na razão :
  1. Terceiro ponto ( ) na razão :
  1. Quarto ponto ( ) na razão :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto M = ( xA + xB2, yA + yB2 ) que divide o segmento M = ( 1 + (-2)2, 3 + 02 ) = ( -12, 32 ) na razão média e extrema. A razão média geralmente se refere ao ponto médio do segmento, ou seja, o ponto que divide exatamente ao meio.
A fórmula para o ponto médio de é:
Aplicando os valores:
Portanto, o ponto é o ponto médio .

Resposta

Os pontos que dividem o segmento P1 = ( 25, 125 ), P2 = ( -15, 95 ), P3 = ( -45, 65 ), P4 = ( -75, 35 ) em 5 partes iguais são:
X = ( -12, 32 )
E o ponto que divide o segmento na razão média é:

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