Prove que em geral pode ser escrito como o determinante da matriz que tem como componentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, em geral, o produto escalar entre o vetor u e o produto vetorial entre os vetores v e w, ou seja, u cdot (v times w), pode ser escrito como o determinante de uma matriz 3x3 formada pelos componentes desses vetores. Vamos usar conceitos de produto escalar, produto vetorial e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Se temos dois vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3), o produto vetorial v times w é outro vetor dado por:
v times w = ( v2 w3 - v3 w2, v3 w1 - v1 w3, v1 w2 - v2 w1 )
Esse vetor é perpendicular aos vetores v e w.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto escalar. Se temos dois vetores u = (u1, u2, u3) e a = (a1, a2, a3), o produto escalar u cdot a é calculado assim:
u cdot a = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3
Isso dá um número real que representa a “similaridade” entre os dois vetores.
Passo 4
Vamos calcular u cdot (v times w) usando as definições que vimos:
Primeiro, calculamos v times w:
v times w = ( v2 w3 - v3 w2, v3 w1 - v1 w3, v1 w2 - v2 w1 )
Agora, fazemos o produto escalar com u:
u cdot (v times w) = u1 (v2 w3 - v3 w2) + u2 (v3 w1 - v1 w3) + u3 (v1 w2 - v2 w1)
Passo 5
Vamos organizar os termos:
u cdot (v times w) = u1 v2 w3 - u1 v3 w2 + u2 v3 w1 - u2 v1 w3 + u3 v1 w2 - u3 v2 w1
Passo 6
Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para a matriz:
Observando o que calculamos no Passo 4 e o determinante no Passo 6, vemos que:
u cdot (v times w) = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Os termos são exatamente os mesmos. Isso prova que o produto escalar entre u e o produto vetorial de v e w é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes desses vetores.
Resposta
Portanto, mostramos que u cdot (v times w) é igual ao determinante da matriz