Considere os pontos A=(-3,0,4), B=(-3,-1,0) e C=(-1,-4,3).
a) Determine os pontos médios, M e N, dos segmentos A C e B C, respectivamente.
b) Verifique que M N=12 A B.
c) Determine o ponto D de forma que A, B, D e C sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três pontos no espaço: , e . A questão está dividida em três partes:
a) Encontrar os pontos médios dos segmentos e de .
b) Verificar se o vetor é igual a metade do vetor .
c) Encontrar o ponto de modo que e formem um paralelogramo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): Encontrar os pontos médios M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e .
O ponto médio de um segmento com extremidades e é dado por:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 3

Calculando o ponto médio M = ( -3 + (-1)2, 0 + (-4)2, 4 + 32 ) = ( -42, -42, 72 ) = (-2, -2, 3.5) de :
Coordenadas de :
Coordenadas de :
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Calculando o ponto médio N = ( -3 + (-1)2, -1 + (-4)2, 0 + 32 ) = ( -42, -52, 32 ) = (-2, -2.5, 1.5) de :
Coordenadas de :
Coordenadas de :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): Verificar se .
Primeiro, precisamos calcular os vetores e .

Passo 6

Calculando o vetor MN = N - M = (-2, -2.5, 1.5) - (-2, -2, 3.5) = (0, -0.5, -2) :

Passo 7

Calculando o vetor AB = B - A = (-3, -1, 0) - (-3, 0, 4) = (0, -1, -4) :
12 AB = 12 (0, -1, -4) = (0, -0.5, -2)
Agora, vamos verificar se :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a igualdade está confirmada.

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte c): Determinar o ponto para formar um paralelogramo com os vértices e .
Num paralelogramo, os vetores opostos são iguais. Ou seja, .

Passo 9

Calculando o vetor BC = C - B = (-1, -4, 3) - (-3, -1, 0) = (2, -3, 3) :
D = A + BC = (-3, 0, 4) + (2, -3, 3) = (-1, -3, 7)
Para encontrar , partimos de e aplicamos o vetor :

Resposta

a) Os pontos médios são e .
b) está verificado.
c) O ponto é .

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Dados os vértices P(1,1), Q(3,-4) e R(-5,2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q.
Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2,-1) e B(3,5).
Sejam V e W dois vetores não nulos, theta o ângulo entre eles e W1=ProjW V.
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
|V|^2=|W1|^2+|V-W1|^2 e |V-W|^2=|V-W1|^2+|W-W1|^2
b) Mostre que |W-W1|=||W|-|V| cos theta|.
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
|V-W|^2=|V|^2+|W|^2-2|V||W| cos theta
Sejam V=(1,2,-3) e W=(2,1,-2). Determine vetores unitários paralelos aos vetores:
a) V+W.
b) V-W.
c) 2 V-3 W.