Considere os pontos e .
a) Determine os pontos médios, e , dos segmentos e , respectivamente.
b) Verifique que .
c) Determine o ponto D de forma que A, B, D e C sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três pontos no espaço: , e . A questão está dividida em três partes:
a) Encontrar os pontos médios dos segmentos e de .
b) Verificar se o vetor é igual a metade do vetor .
c) Encontrar o ponto de modo que e formem um paralelogramo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a): Encontrar os pontos médios M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e .
O ponto médio de um segmento com extremidades e é dado por:
Vamos aplicar isso para e .
Passo 3
Calculando o ponto médio M = ( -3 + (-1)2, 0 + (-4)2, 4 + 32 ) = ( -42, -42, 72 ) = (-2, -2, 3.5) de :
Coordenadas de :
Coordenadas de :
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Calculando o ponto médio N = ( -3 + (-1)2, -1 + (-4)2, 0 + 32 ) = ( -42, -52, 32 ) = (-2, -2.5, 1.5) de :
Coordenadas de :
Coordenadas de :
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): Verificar se .
Primeiro, precisamos calcular os vetores e .
Passo 6
Calculando o vetor MN = N - M = (-2, -2.5, 1.5) - (-2, -2, 3.5) = (0, -0.5, -2) :
Passo 7
Calculando o vetor AB = B - A = (-3, -1, 0) - (-3, 0, 4) = (0, -1, -4) :
12 AB = 12 (0, -1, -4) = (0, -0.5, -2)
Agora, vamos verificar se :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a igualdade está confirmada.
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte c): Determinar o ponto para formar um paralelogramo com os vértices e .
Num paralelogramo, os vetores opostos são iguais. Ou seja, .
Passo 9
Calculando o vetor BC = C - B = (-1, -4, 3) - (-3, -1, 0) = (2, -3, 3) :
D = A + BC = (-3, 0, 4) + (2, -3, 3) = (-1, -3, 7)
Para encontrar , partimos de e aplicamos o vetor :
Resposta
a) Os pontos médios são e .
b) está verificado.
c) O ponto é .