Sejam e dois vetores não nulos, o ângulo entre eles e .
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
b) Mostre que .
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, e , e o ângulo entre eles é . Também temos , que é a projeção de em . A matéria aqui envolve geometria vetorial, especificamente projeções e o Teorema de Pitágoras. Vamos precisar entender como decompor vetores e aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar as magnitudes desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos usar o Teorema de Pitágoras para mostrar duas igualdades envolvendo as magnitudes dos vetores.
Passo 3
O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No nosso caso, podemos pensar no vetor como a hipotenusa e nos vetores e como os catetos.
Passo 4
Então, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Isso mostra a primeira igualdade que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da parte (a). Vamos considerar o vetor . Podemos decompô-lo em e . Novamente, aplicando o Teorema de Pitágoras:
E assim, provamos a segunda igualdade.
Passo 6
Passando para a parte (b). Queremos mostrar que:
Sabemos que é a projeção de sobre , que é dado por:
A magnitude dessa projeção é:
Passo 7
Então, a diferença representa a parte de que é perpendicular a . A magnitude dessa diferença é:
Como estamos falando de magnitudes, usamos o valor absoluto para garantir que o resultado seja positivo: