Sejam V e W dois vetores não nulos, theta o ângulo entre eles e W1=ProjW V.
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
|V|^2=|W1|^2+|V-W1|^2 e |V-W|^2=|V-W1|^2+|W-W1|^2
b) Mostre que |W-W1|=||W|-|V| cos theta|.
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
|V-W|^2=|V|^2+|W|^2-2|V||W| cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, e , e o ângulo entre eles é . Também temos , que é a projeção de em . A matéria aqui envolve geometria vetorial, especificamente projeções e o Teorema de Pitágoras. Vamos precisar entender como decompor vetores e aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar as magnitudes desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos usar o Teorema de Pitágoras para mostrar duas igualdades envolvendo as magnitudes dos vetores.

Passo 3

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No nosso caso, podemos pensar no vetor como a hipotenusa e nos vetores e como os catetos.

Passo 4

Então, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
|V|^2 = |W1|^2 + |V - W1|^2
Isso mostra a primeira igualdade que queríamos provar.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte da parte (a). Vamos considerar o vetor |V - W|^2 = |V - W1|^2 + |W - W1|^2 . Podemos decompô-lo em e . Novamente, aplicando o Teorema de Pitágoras:
E assim, provamos a segunda igualdade.

Passo 6

Passando para a parte (b). Queremos mostrar que:
|W - W1| = ||W| - |V| cos theta|
Sabemos que W1 = ( V cdot W|W|^2 ) W é a projeção de |W1| = |V| cos theta sobre , que é dado por:
A magnitude dessa projeção é:

Passo 7

Então, a diferença |W - W1| = |W| - |W1| = |W| - |V| cos theta representa a parte de |W - W1| = ||W| - |V| cos theta| que é perpendicular a . A magnitude dessa diferença é:
Como estamos falando de magnitudes, usamos o valor absoluto para garantir que o resultado seja positivo:

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte ©, onde vamos usar os resultados anteriores para provar a Lei dos Cossenos. Sabemos que:
|V - W|^2 = |V|^2 + |W|^2 - 2|V||W| cos theta
A partir da parte (a), temos:
|V - W|^2 = |V|^2 + |W|^2 - 2|V||W| cos theta
Portanto, usando apenas o que já provamos, conseguimos chegar à Lei dos Cossenos.

Resposta

A Lei dos Cossenos foi provada utilizando o Teorema de Pitágoras e as propriedades da projeção de vetores:
|V - W|^2 = |V|^2 + |W|^2 - 2|V||W| cos theta

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