Sejam V=(1,2,-3) e W=(2,1,-2). Determine vetores unitários paralelos aos vetores:
a) V+W.
b) V-W.
c) 2 V-3 W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e . A pergunta é para encontrar vetores unitários que são paralelos a , e . Para isso, vamos precisar entender o que é um vetor unitário e como calcular a soma, a subtração e combinações lineares de vetores. Um vetor unitário é um vetor com comprimento igual a 1, que aponta na mesma direção do vetor original. Vamos por partes!

Passo 2

a) Encontrar um vetor unitário paralelo a V + W = (1 + 2, 2 + 1, -3 + (-2)) = (3, 3, -5) .
Primeiro, vamos calcular ||A|| = raiza^2 + b^2 + c^2 .
||V + W|| = raiz3^2 + 3^2 + (-5)^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43
Agora, para transformar esse vetor em um vetor unitário, precisamos encontrar a magnitude (ou comprimento) dele. A fórmula para a magnitude de um vetor Vetor Unitário = ( 3raiz43, 3raiz43, -5raiz43 ) é:
Vamos calcular a magnitude de :
Agora, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
á

Passo 3

b) Encontrar um vetor unitário paralelo a V - W = (1 - 2, 2 - 1, -3 - (-2)) = (-1, 1, -1) .
Vamos primeiro calcular ||V - W|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 :
Vetor Unitário = ( -1raiz3, 1raiz3, -1raiz3 )
Agora, calculamos a magnitude de :
Em seguida, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
á

Passo 4

c) Encontrar um vetor unitário paralelo a 2V = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 2 cdot (-3)) = (2, 4, -6) .
Primeiro, vamos calcular 3W = (3 cdot 2, 3 cdot 1, 3 cdot (-2)) = (6, 3, -6) :
2V - 3W = (2 - 6, 4 - 3, -6 - (-6)) = (-4, 1, 0)
||2V - 3W|| = raiz(-4)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz16 + 1 + 0 = raiz17
Vetor Unitário = ( -4raiz17, 1raiz17, 0raiz17 )
Agora, calculamos a magnitude de :
Por fim, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
á

Resposta

Os vetores unitários paralelos são:
a)
b)
c) ( \left( \dfrac{-4}{\sqrt{17}}, \dfrac{1}{\sqrt{17}}, 0 \right) \ )

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Sejam V e W dois vetores não nulos, theta o ângulo entre eles e W1=ProjW V.
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b) Mostre que |W-W1|=||W|-|V| cos theta|.
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
|V-W|^2=|V|^2+|W|^2-2|V||W| cos theta
Considere os pontos A=(-3,0,4), B=(-3,-1,0) e C=(-1,-4,3).
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