Dados os vértices P(1,1), Q(3,-4) e R(-5,2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com os vértices , e . A missão é descobrir o comprimento da mediana que parte do vértice . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o ponto médio e a distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice M( x1 + x22, y1 + y22 ) , que é o lado M( 1 + (-5)2, 1 + 22 ) = M( -42, 32 ) = M(-2, 1.5) . O ponto médio de dois pontos e é dado por:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 3

Agora que temos o ponto médio d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , vamos calcular a distância entre d = raiz(-2 - 3)^2 + (1.5 - (-4))^2 = raiz(-5)^2 + (5.5)^2 = raiz25 + 30.25 = raiz55.25 e d approx 7.43 unidades . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo os valores:
Calculando a raiz quadrada:

Resposta

O comprimento da mediana que parte do vértice é aproximadamente 7,43 unidades.

Exercícios relacionados

Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2,-1) e B(3,5).
Sendo A(3,1), B(4,-4) e C(-2,2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto aos seus lados e ângulos.
Considere os pontos A=(-3,0,4), B=(-3,-1,0) e C=(-1,-4,3).
a) Determine os pontos médios, M e N, dos segmentos A C e B C, respectivamente.
b) Verifique que M N=12 A B.
c) Determine o ponto D de forma que A, B, D e C sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
Sejam V e W dois vetores não nulos, theta o ângulo entre eles e W1=ProjW V.
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
|V|^2=|W1|^2+|V-W1|^2 e |V-W|^2=|V-W1|^2+|W-W1|^2
b) Mostre que |W-W1|=||W|-|V| cos theta|.
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
|V-W|^2=|V|^2+|W|^2-2|V||W| cos theta