Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: e , de modo que a reta seja paralela ao plano .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos pontos, retas e planos no espaço tridimensional e precisamos encontrar os valores de e de forma que a reta seja paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de direção de uma reta, vetor normal de um plano e as condições de paralelismo entre uma reta e um plano na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta . A equação paramétrica da reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do plano . A equação geral do plano é:
O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de , e :

Passo 4

Para que a reta seja paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano . Ou seja, o produto escalar entre e deve ser zero:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
Então, temos:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Passo 7

Agora que encontramos , precisamos verificar se há restrições para o valor de no contexto do problema. No entanto, observando o enunciado, vemos que está presente nos pontos e não interfere diretamente na condição de paralelismo entre a reta e o plano .

Passo 8

Concluímos que o valor de que satisfaz a condição é , e o valor de pode ser qualquer número real, pois não há restrições adicionais impostas pelo enunciado.

Resposta

O valor de é e pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados

Determine a distância entre as retas e , nos casos a seguir: .
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam paralelos.
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(d)
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(a)