Considere os pontos P(4, a, 4) e Q(0,3 b+8, b), as retas
r: x-1=2-y3=z e s:(x, y, z)=Q+t(1,0,2), t in R
e os planos
pi1: m x-2 y+(m+3) z-1=0 e pi2:(x, y, z)=t(1,-3,1)+h(2,-3,1), h, t in R.
Determine, se possível: b e m, de modo que a reta s seja paralela ao plano pi1.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos pontos, retas e planos no espaço tridimensional e precisamos encontrar os valores de e de forma que a reta seja paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de direção de uma reta, vetor normal de um plano e as condições de paralelismo entre uma reta e um plano na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta (x, y, z) = Q + t(1, 0, 2) . A equação paramétrica da reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do plano m x - 2 y + (m + 3) z - 1 = 0 . A equação geral do plano npi1 = (m, -2, m + 3) é:
O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de , e :

Passo 4

Para que a reta ds cdot npi1 = 0 seja paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano . Ou seja, o produto escalar entre e deve ser zero:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
(1, 0, 2) cdot (m, -2, m + 3) = 1 cdot m + 0 cdot (-2) + 2 cdot (m + 3) = m + 0 + 2m + 6 = 3m + 6
Então, temos:
3m + 6 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação para 3m + 6 = 0 3m = -6 m = -2 :

Passo 7

Agora que encontramos , precisamos verificar se há restrições para o valor de no contexto do problema. No entanto, observando o enunciado, vemos que está presente nos pontos e não interfere diretamente na condição de paralelismo entre a reta e o plano .

Passo 8

Concluímos que o valor de que satisfaz a condição é , e o valor de pode ser qualquer número real, pois não há restrições adicionais impostas pelo enunciado.

Resposta

O valor de é e pode ser qualquer número real.

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