Determine a distância entre as retas e , nos casos a seguir: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a distância entre as retas e . Essas retas estão descritas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre retas no espaço. Precisaremos identificar as direções das retas e os pontos que pertencem a cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e .
A reta é dada por:
O vetor diretor de é .
A reta é dada pelo sistema:
Podemos reescrever como:
Portanto, o vetor diretor de é .

Passo 3

Para encontrar a distância entre as retas e , precisamos verificar se elas são paralelas ou não.
Calculamos o produto vetorial dos vetores diretores:
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas.

Passo 4

A distância entre as retas que não são paralelas é zero se elas se interceptam, mas vamos verificar se são concorrentes ou não.
Pegamos pontos das retas e :
Ponto em :
Ponto em :
Vetor que liga e :
Agora, usamos a fórmula da distância entre retas:

Passo 5

Calculamos o produto escalar:
O valor absoluto é .

Passo 6

Calculamos a magnitude do produto vetorial:

Passo 7

Finalmente, a distância entre as retas é:

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam paralelos.
Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações:

Matrizes

1
Demostre as propriedades de matrizes:
Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: e , de modo que a reta seja paralela ao plano .
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(d)