Determine a distância entre as retas e , nos casos a seguir: .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a distância entre as retas e . Essas retas estão descritas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre retas no espaço. Precisaremos identificar as direções das retas e os pontos que pertencem a cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas (x, y, z) = (-1, 2, 1) + h(1, 2, -1) e 1 2 -1.
A reta x = 2t y = 3 z = 1 + 4t é dada por:
(x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2, 0, 4)
O vetor diretor de 2 0 4 é .
A reta é dada pelo sistema:
Podemos reescrever como:
Portanto, o vetor diretor de é .
Passo 3
Para encontrar a distância entre as retas dr times ds = 1 2 -1 times 2 0 4 = (2)(4) - (-1)(0) -[(1)(4) - (-1)(2)] (1)(0) - (2)(2) = 8 -(4 + 2) -4 = 8 -6 -4 e , precisamos verificar se elas são paralelas ou não.
Calculamos o produto vetorial dos vetores diretores:
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas.
Passo 4
A distância entre as retas que não são paralelas é zero se elas se interceptam, mas vamos verificar se são concorrentes ou não.
Pegamos pontos das retas Pr Ps = 0 - (-1) 3 - 2 1 - 1 = 1 1 0 e d = |dr times ds cdot Pr Ps||dr times ds| :