Determine a distância entre as retas r e s, nos casos a seguir: r:(x, y, z)=(-1,2,1)+h(1,2,-1), h in R, s:lx=2 t y=3 z=1+4 t, t in R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a distância entre as retas e . Essas retas estão descritas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre retas no espaço. Precisaremos identificar as direções das retas e os pontos que pertencem a cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas (x, y, z) = (-1, 2, 1) + h(1, 2, -1) e 1 2 -1.
A reta x = 2t y = 3 z = 1 + 4t é dada por:
(x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2, 0, 4)
O vetor diretor de 2 0 4 é .
A reta é dada pelo sistema:
Podemos reescrever como:
Portanto, o vetor diretor de é .

Passo 3

Para encontrar a distância entre as retas dr times ds = 1 2 -1 times 2 0 4 = (2)(4) - (-1)(0) -[(1)(4) - (-1)(2)] (1)(0) - (2)(2) = 8 -(4 + 2) -4 = 8 -6 -4 e , precisamos verificar se elas são paralelas ou não.
Calculamos o produto vetorial dos vetores diretores:
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas.

Passo 4

A distância entre as retas que não são paralelas é zero se elas se interceptam, mas vamos verificar se são concorrentes ou não.
Pegamos pontos das retas Pr Ps = 0 - (-1) 3 - 2 1 - 1 = 1 1 0 e d = |dr times ds cdot Pr Ps||dr times ds| :
Ponto em :
Ponto em :
Vetor que liga e :
Agora, usamos a fórmula da distância entre retas:

Passo 5

Calculamos o produto escalar:
dr times ds cdot Pr Ps = 8 -6 -4 cdot 1 1 0 = (8)(1) + (-6)(1) + (-4)(0) = 8 -6 +0 = 2
O valor absoluto é .

Passo 6

Calculamos a magnitude do produto vetorial:
|dr times ds| = raiz8^2 + (-6)^2 + (-4)^2 = raiz64 + 36 + 16 = raiz116 = 2 raiz29

Passo 7

Finalmente, a distância entre as retas é:
d = 22 raiz29 = 1raiz29 = raiz2929

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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