Obtenha a interseção da reta com o plano :
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar onde a reta cruza o plano . Isso faz parte da geometria analítica, e pra resolver precisamos usar as equações paramétricas da reta e do plano e ver onde elas se encontram. Basicamente, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano e resolver umas equações para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta . A reta está dada por:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o plano . O plano é dado por um ponto e dois vetores diretores:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:

Passo 4

Para encontrar a interseção, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (1a) e (2a):
Agora, da equação (3):
Substituindo :
Dividindo tudo por -7:
Vemos que as equações (4) e (5) são iguais, o que nos permite escolher um valor para . Vamos escolher :
Agora, substituindo e na equação (2a):

Resposta

O ponto de interseção é .

Exercícios relacionados

Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: e , de modo que a reta seja paralela ao plano .
Determine a distância entre as retas e , nos casos a seguir: .
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(a)
Sejam as matrizes genéricas de tamanho no qual e não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador . Use a definição de produto matricial: .