Obtenha a interseção da reta
com o plano
:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar onde a reta
cruza o plano
. Isso faz parte da geometria analítica, e pra resolver precisamos usar as equações paramétricas da reta e do plano e ver onde elas se encontram. Basicamente, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano e resolver umas equações para encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta
. A reta está dada por:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o plano
. O plano é dado por um ponto e dois vetores diretores:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Passo 4
Para encontrar a interseção, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (
,
,
). Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar as equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (1a) e (2a):
Agora, da equação (3):
Substituindo
:
Dividindo tudo por -7:
Vemos que as equações (4) e (5) são iguais, o que nos permite escolher um valor para
. Vamos escolher
:
Agora, substituindo
e
na equação (2a):
Resposta
O ponto de interseção é
.