Obtenha a interseção da reta r com o plano pi :
(d) r: X=(2,3,1)+lambda(1,-1,4) pi: X=(-4,-6,2)+de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar onde a reta cruza o plano . Isso faz parte da geometria analítica, e pra resolver precisamos usar as equações paramétricas da reta e do plano e ver onde elas se encontram. Basicamente, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano e resolver umas equações para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta X = (2, 3, 1) + lambda(1, -1, 4) . A reta está dada por:
x = 2 + lambda
Isso significa que:
y = 3 - lambda
z = 1 + 4lambda

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o plano X = (-4, -6, 2) + de. O plano é dado por um ponto e dois vetores diretores:
x = -4 + 2de
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
y = -6 + de
z = 2 + 3de

Passo 4

Para encontrar a interseção, vamos igualar as coordenadas da reta com as do plano:
2 + lambda = -4 + 2de
3 - lambda = -6 + de
1 + 4lambda = 2 + 3de
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as equações:
Da equação (1):
lambda = -6 + 2de
Da equação (2):
-lambda = -9 + de
Igualando (1a) e (2a):
-6 + 2de
3de
de
Agora, da equação (3):
1 + 4lambda = 2 + 3de
Substituindo 1 + 4(9 - de:
1 + 36 - 4de
37 - 4de
-7de
de
Dividindo tudo por -7:
de
Vemos que as equações (4) e (5) são iguais, o que nos permite escolher um valor para lambda = 9 - 5 - 0 = 4 . Vamos escolher :
Agora, substituindo e na equação (2a):

Resposta

O ponto de interseção é .

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