Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar equações de planos que contenham a reta dada por:
Isso envolve matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar a direção da reta e encontrar vetores normais que ajudem a definir os planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta. Olha os coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor mostra a direção na qual a reta está se movendo.
Passo 3
Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta. Se :
Então, temos o ponto na reta.
Passo 4
Para definir um plano, precisamos de um vetor normal () que seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como infinitos planos podem conter a reta, vamos escolher dois vetores normais diferentes.
Primeiro, vamos escolher . Verificamos que:
Como o produto escalar deu zero, é perpendicular a .
Passo 5
Agora, usamos a equação do plano:
onde é o ponto e é o vetor normal.
Substituindo e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para um segundo vetor normal. Escolhemos e verificamos:
Ops! Não é perpendicular. Então, precisamos ajustar.
Vamos escolher :
Ainda não. Tentando :
Ainda não funciona. Melhor escolher outro vetor. Vamos tentar :