Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar equações de planos que contenham a reta dada por:
Isso envolve matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar a direção da reta e encontrar vetores normais que ajudem a definir os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta. Olha os coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor mostra a direção na qual a reta está se movendo.

Passo 3

Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta. Se :
Então, temos o ponto na reta.

Passo 4

Para definir um plano, precisamos de um vetor normal ( ) que seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como infinitos planos podem conter a reta, vamos escolher dois vetores normais diferentes.
Primeiro, vamos escolher . Verificamos que:
Como o produto escalar deu zero, é perpendicular a .

Passo 5

Agora, usamos a equação do plano:
onde é o ponto e é o vetor normal.
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para um segundo vetor normal. Escolhemos e verificamos:
Ops! Não é perpendicular. Então, precisamos ajustar.
Vamos escolher :
Ainda não. Tentando :
Ainda não funciona. Melhor escolher outro vetor. Vamos tentar :
Perfeito!

Passo 7

Agora, usamos na equação do plano:
Simplificando:

Resposta

As equações dos planos que contêm a reta são:

Exercícios relacionados

Obtenha a interseção da reta com o plano :
(d)
Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: e , de modo que a reta seja paralela ao plano .
Sejam as matrizes genéricas de tamanho no qual e não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador . Use a definição de produto matricial: .
Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
(d)