Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(a) r:lx=1-lambda y=2+2 lambda z=3+lambda

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar equações de planos que contenham a reta dada por:
r:l x=1-lambda y=2+2 lambda z=3+lambda
Isso envolve matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar a direção da reta e encontrar vetores normais que ajudem a definir os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta. Olha os coeficientes de d = (-1, 2, 1) nas equações paramétricas:
Esse vetor mostra a direção na qual a reta está se movendo.

Passo 3

Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta. Se x = 1, y = 2, z = 3 :
Então, temos o ponto na reta.

Passo 4

Para definir um plano, precisamos de um vetor normal ( n1 cdot d = 2*(-1) + 1*2 + 0*1 = -2 + 2 + 0 = 0 ) que seja perpendicular ao vetor diretor da reta. Como infinitos planos podem conter a reta, vamos escolher dois vetores normais diferentes.
Primeiro, vamos escolher . Verificamos que:
Como o produto escalar deu zero, é perpendicular a .

Passo 5

Agora, usamos a equação do plano:
n cdot (r - r0) = 0
onde 2(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 3) = 0 é o ponto 2x - 2 + y - 2 = 0 implies 2x + y - 4 = 0 e é o vetor normal.
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para um segundo vetor normal. Escolhemos n2 cdot d = 1*(-1) + 0*2 + (-2)*1 = -1 + 0 -2 = -3 neq 0 e verificamos:
n2 cdot d = 1*(-1) + (-1)*2 + 1*1 = -1 -2 +1 = -2 neq 0
Ops! Não é perpendicular. Então, precisamos ajustar.
Vamos escolher n2 cdot d = 1*(-1) + 1*2 + (-1)*1 = -1 +2 -1 =0 :
Ainda não. Tentando :
Ainda não funciona. Melhor escolher outro vetor. Vamos tentar :
Perfeito!

Passo 7

Agora, usamos 1(x - 1) + 1(y - 2) -1(z - 3) = 0 na equação do plano:
x -1 + y -2 -z +3 = 0 implies x + y - z = 0
Simplificando:

Resposta

As equações dos planos que contêm a reta 2x + y - 4 = 0 x + y - z = 0 são:

Exercícios relacionados