Considere os pontos P(4, a, 4) e Q(0,3 b+8, b), as retas
r: x-1=2-y3=z e s:(x, y, z)=Q+t(1,0,2), t in R
e os planos
pi1: m x-2 y+(m+3) z-1=0 e pi2:(x, y, z)=t(1,-3,1)+h(2,-3,1), h, t in R.
Determine, se possível: a, de modo que a reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta s seja reversa com a reta r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, P(4, a, 4) e Q(0, 3b + 8, b), duas retas e , e dois planos e . O objetivo é encontrar o valor de de modo que a reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta seja reversa com a reta .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como paralelismo e reversidade entre retas. Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas ds = (1, 0, 2) e x - 1 = 2 - y3 = z . A direção de uma reta é dada pelo vetor diretor.
Para a reta x = 1 + t :
y = 2 - 3t
Para a reta z = t :
A equação paramétrica da reta dr = (1, -3, 1) é:
Podemos reescrever isso em termos de parâmetros:
Então, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, queremos que a reta que passa por P e é paralela à reta (x, y, z) = (4, a, 4) + t(1, 0, 2) tenha direção igual a dl = -k dr . Vamos chamar essa reta de . Então, a equação paramétrica de é:
Agora, para que seja reversa com , precisamos que elas não sejam paralelas e que não se interseccionem. Mas, na verdade, em muitos contextos, “reversas” pode significar que elas são inversamente direcionadas ou apresentam uma certa relação específica. Vamos assumir que queremos que as retas sejam paralelas.
No entanto, para que seja paralela a , já garantimos isso pela direção. Agora, para que seja reversa com , suas direções devem ser proporcionais mas com sentidos opostos, ou seja:
Para algum escalar .

Passo 4

Vamos comparar as direções:
dl = (1, 0, 2)
dr = (1, -3, 1)
Para que 11 = 0-3 = 21 seja proporcional a , devemos ter:
Observamos que , , e . Esses valores não são iguais, o que significa que as retas e não são paralelas. Portanto, não é possível que a reta seja reversa com baseando-se nessa condição.

Passo 5

No entanto, vamos verificar se as retas x = 4 + t e y = a se intersectam. Se elas se intersectarem, não serão reversas. Vamos igualar as equações paramétricas:
Para z = 4 + 2t :
x = 1 + s
y = 2 - 3s
z = s
Para 4 + t = 1 + s Rightarrow s = t + 3 :
4 + 2t = s = t + 3 Rightarrow 4 + 2t = t + 3 Rightarrow t = -1
y = 2 - 3(-1) = 5
y = a
Igualando e :
Substituindo em de :
E em :
Para que as retas se intersectem, precisamos que .

Passo 6

Concluímos que, para que a reta seja reversa com , elas não devem se intersectar e não serem paralelas. No entanto, vimos que quando , elas se intersectam. Como não podem ser reversas nesse caso, não existe valor de que satisfaça a condição de que a reta que passa por P e é paralela à reta seja reversa com a reta .

Resposta

Não existe valor de que satisfaça as condições da questão.

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