Obtenha uma equação geral do plano pi descrito em cada caso:
(ii) pi contém os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar dois vetores no plano e então encontrar um vetor normal a esse plano para montar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano pi. Podemos fazer isso calculando os vetores AB e AC. Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (-1-1, 0-0, 1-1) = (-2, 0, 0)
AC = C - A = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB = (-2, 0, 0) e AC = (1, 1, 1), vamos encontrar um vetor normal ao plano pi. Para isso, usamos o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
n = AB times AC
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k -2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 = i(0 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(-2 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(-2 cdot 1 - 0 cdot 1)
n = i(0) - j(-2) + k(-2) = (0, 2, -2)

Passo 4

Temos o vetor normal n = (0, 2, -2). A equação geral de um plano pode ser escrita como:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto conhecido no plano. Vamos usar o ponto A=(1,0,1) para substituir na equação.
Substituindo os valores:
0(x - 1) + 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0
Simplificando:
2y - 2z + 2 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
y - z + 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é y - z + 1 = 0.

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