Obtenha uma equação geral do plano descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar dois vetores no plano e então encontrar um vetor normal a esse plano para montar a equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso calculando os vetores e . Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar um vetor normal ao plano . Para isso, usamos o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial:
Passo 4
Temos o vetor normal . A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto conhecido no plano. Vamos usar o ponto para substituir na equação.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar ainda mais: