Obtenha uma equação geral do plano descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar dois vetores no plano e então encontrar um vetor normal a esse plano para montar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso calculando os vetores e . Esses vetores são obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos encontrar um vetor normal ao plano . Para isso, usamos o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial:

Passo 4

Temos o vetor normal . A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto conhecido no plano. Vamos usar o ponto para substituir na equação.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: , de modo que a reta que passa pelo ponto e é paralela à reta seja reversa com a reta .
Sendo e dois vetores quaisquer não paralelos, tal que, . Mostre que:
Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(b)