Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores
e
no espaço vetorial
é igual ao produto das normas desses vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, norma de um vetor e ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
na base canônica
é definido por:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a norma (ou comprimento) de um vetor. A norma de
é dada por:
E similarmente para
:
Passo 4
Também sabemos que o cosseno do ângulo
entre os vetores
e
pode ser expresso em termos do produto escalar e das normas dos vetores:
Essa fórmula nos relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e suas normas.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação do cosseno para isolar o produto escalar
:
Resposta
Portanto, demonstramos que o produto escalar de dois vetores
e
é igual ao produto das suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles:
Exercícios relacionados
Considere os pontos
e
, as retas
e
e os planos
e
.
Determine, se possível: , de modo que a reta que passa pelo ponto
e é paralela à reta
seja reversa com a reta
.
e os planos
Determine, se possível:
© Obtenha dois vetores diretores de
e dois pontos de
, distintos de
e
.
Obtenha uma equação geral do plano
descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos
e
.
(ii)
Sendo
e
dois vetores quaisquer não paralelos, tal que,
. Mostre que: