Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: A cdot B=|A| cdot|B| cos (alphaA B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores A e B no espaço vetorial V^n é igual ao produto das normas desses vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, norma de um vetor e ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores A = (A1, A2, A3) e B = (B1, B2, B3) na base canônica i, j, k é definido por:
A cdot B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a norma (ou comprimento) de um vetor. A norma de A é dada por:
|A| = raizA1^2 + A2^2 + A3^2
E similarmente para B:
|B| = raizB1^2 + B2^2 + B3^2

Passo 4

Também sabemos que o cosseno do ângulo alphaAB entre os vetores A e B pode ser expresso em termos do produto escalar e das normas dos vetores:
cos(alphaAB) = A cdot B|A| cdot |B|
Essa fórmula nos relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e suas normas.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação do cosseno para isolar o produto escalar A cdot B:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(alphaAB)

Resposta

Portanto, demonstramos que o produto escalar de dois vetores A e B é igual ao produto das suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles:
A cdot B = |A| cdot |B| cos (alphaAB)

Exercícios relacionados