Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores e no espaço vetorial é igual ao produto das normas desses vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, norma de um vetor e ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e na base canônica é definido por:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a norma (ou comprimento) de um vetor. A norma de é dada por:
E similarmente para :

Passo 4

Também sabemos que o cosseno do ângulo entre os vetores e pode ser expresso em termos do produto escalar e das normas dos vetores:
Essa fórmula nos relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e suas normas.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação do cosseno para isolar o produto escalar :

Resposta

Portanto, demonstramos que o produto escalar de dois vetores e é igual ao produto das suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles:

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Considere os pontos e , as retas
e
e os planos
e .
Determine, se possível: , de modo que a reta que passa pelo ponto e é paralela à reta seja reversa com a reta .
© Obtenha dois vetores diretores de e dois pontos de , distintos de e .
Obtenha uma equação geral do plano descrito em cada caso:
(ii) contém os pontos e .
Sendo e dois vetores quaisquer não paralelos, tal que, . Mostre que: