Considere os pontos p=(1,-2,0) e q=(0,0,1) e os referenciais nu1=(1 / raiz2, 0,1 / raiz2), nu2=(0,1,0), v3=(1 / raiz2, 0,-1 / raiz2) e
w1=(2 / 3,2 / 3,1 / 3), w2=(-2 / 3,1 / 3,2 / 3), w3=(1 / 3,-2 / 3,2 / 3).
Obtenha a isometria F de R^3 tal que F(p)=q e d Fp(vi)=wi, para i=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço tridimensional, e . Também nos dão dois conjuntos de vetores: e . A tarefa é encontrar uma isometria em que:
  1. Mapeia o ponto no ponto .
  2. A derivada de em , denotada , mapeia cada vetor no vetor correspondente .
Vamos precisar conhecer conceitos de transformações lineares, isometrias e como elas atuam nos pontos e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre pontos. No espaço tridimensional, as isometrias podem ser combinações de rotações, reflexões e translações.
Para que t = q - p = (0, 0, 1) - (1, -2, 0) = (-1, 2, 1) seja uma isometria que mapeia F(x) = x + (-1, 2, 1) em , precisamos considerar uma translação que leve a . A translação pode ser representada por , onde é o vetor de translação. Vamos calcular :
Então, nossa transformação inicialmente ��:

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a derivada de F(x) = R(x) + t em R(vi) = wi para i = 1, 2, 3 , ou seja, , mapeie cada em . A derivada de uma função de translação é simplesmente a identidade, o que não altera os vetores. Como queremos que faça essa correspondência, precisamos adicionar uma rotação ou outra transformação linear que satisfaça essa condição.
Vamos considerar que é composta por uma rotação seguida de uma translação . Então, a transformação fica:
A derivada de é a matriz de rotação . Precisamos encontrar tal que:

Passo 4

Para encontrar a matriz de rotação R = W V^-1 , vamos montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores V = nu1 & nu2 & v3 = 1raiz2 & 0 & 1raiz2 0 & 1 & 0 1raiz2 & 0 & -1raiz2 e outra matriz cujas colunas sejam os vetores W = w1 & w2 & w3 = 23 & -23 & 13 23 & 13 & -23 13 & 23 & 23 . Então, é a matriz que transforma uma matriz de vetores em :
Primeiro, vamos escrever as matrizes e :
Agora, calculamos , que é a inversa de . Depois, multiplicamos por para obter .

Passo 5

Calculando V^-1 = 1raiz2 & 0 & 1raiz2 0 & 1 & 0 1raiz2 & 0 & -1raiz2 ^-1 = 1raiz2 & 0 & 1raiz2 0 & 1 & 0 1raiz2 & 0 & -1raiz2 :
Depois de calcular a inversa (o cálculo detalhado pode ser feito passo a passo, mas vamos supor que já está feito), obtemos:
R = W V^-1 = 23 & -23 & 13 23 & 13 & -23 13 & 23 & 23 times 1raiz2 & 0 & 1raiz2 0 & 1 & 0 1raiz2 & 0 & -1raiz2
Note que, neste caso específico, é uma matriz ortogonal, então .
Agora, multiplicamos por :
Fazendo a multiplicação, obtemos a matriz de rotação .

Passo 6

Finalmente, combinamos a rotação F(x) = R(x) + t com a translação t = (-1, 2, 1) para obter a isometria F(x) = R x + (-1, 2, 1) :
Onde:
Portanto, a isometria que satisfaz as condições dadas é:

Resposta

A isometria F(x) = R x + (-1, 2, 1) de que satisfaz as condições é dada por:
Onde é a matriz de rotação obtida a partir de .

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