Quais dos seguintes conjuntos são subespaços :
do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço do . Isso envolve entender conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar se satisfaz três condições principais para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares.
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Sabemos que e .
Agora, somamos esses vetores:
Substituindo e :
Então, o segundo componente da soma também satisfaz . Portanto, a soma está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalares:
Vamos pegar um vetor qualquer em , , onde , e um escalar .
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Substituindo :
Então, o segundo componente da multiplicação também satisfaz . Logo, o vetor escalado está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, concluímos que é um subespaço do .

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