Quais dos seguintes conjuntos são subespaços :
do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço do
. Isso envolve entender conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar se
satisfaz três condições principais para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalares.
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição de vetores:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que
e
.
Agora, somamos esses vetores:
Substituindo
e
:
Então, o segundo componente da soma também satisfaz
. Portanto, a soma está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalares:
Vamos pegar um vetor qualquer em
,
, onde
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Substituindo
:
Então, o segundo componente da multiplicação também satisfaz
. Logo, o vetor escalado está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço do
.
Exercícios relacionados
Verifique que toda translação preserva orientação.
Considere os pontos
e
e os referenciais
.
Obtenha a isometria de
tal que
e
, para
.
Obtenha a isometria
Seja
uma aplicação diferenciável, tal que
preserva produto interno. Prove que
é uma isometria.
Verifique que a curva
, e a curva
são congruentes. Obtenha a isometria
tal que
.