Verifique se as seguintes funções são isometrias de . Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
a) ,
b) ;
c) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se certas funções são isometrias em . Uma isometria é uma transformação que preserva distâncias entre pontos. Para ser uma isometria, a função deve ser uma combinação de translação e uma transformação ortogonal (como rotações ou reflexões). Precisaremos verificar isso para cada função fornecida:
a)
b)
c)

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos ver o que essa função faz. Ela pega um ponto e o mapeia para , ou seja, não faz nenhuma mudança. Isso é uma identidade, que é uma transformação que não altera o ponto.

Passo 3

Para verificar se é uma isometria, precisamos ver se preserva as distâncias. Como a função não altera nenhum ponto, claramente ela preserva as distâncias.

Passo 4

Agora, para expressar essa função como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal, notamos que não há translação nem transformação ortogonal envolvida, ou seja, a translação é a identidade e a transformação ortogonal também é a identidade.

Passo 5

Portanto, a função pode ser escrita como:
onde é a translação identidade e é a transformação ortogonal identidade.

Passo 6

Parte b)
Vamos analisar cada componente da função:
  • A primeira coordenada é , que envolve uma reflexão no eixo e uma translação.
  • A segunda coordenada é , que é uma translação no eixo .
  • A terceira coordenada é , que é uma translação no eixo .

Passo 7

Primeiro, identificamos a parte de translação:
Agora, vamos identificar a transformação ortogonal . Observamos que há uma troca e mudança de sinal em algumas coordenadas, indicando uma rotação/reflexão.

Passo 8

A transformação ortogonal pode ser representada por uma matriz que rearranja e reflete as coordenadas:
Isso reflete e permuta as coordenadas conforme a função .

Passo 9

Portanto, a função pode ser escrita como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal :
onde:

Passo 10

Parte c)
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:

Passo 11

Observamos que a componente permanece a mesma, enquanto as componentes e são combinadas linearmente. Isso sugere que a transformação é uma rotação em torno do eixo .

Passo 12

Para verificar se é uma transformação ortogonal, precisamos verificar se a matriz associada é ortogonal, ou seja, se sua transposta é igual à sua inversa.
A matriz de é:

Passo 13

Calculando :
Como , a matriz não é ortogonal.

Passo 14

Portanto, a função não é uma isometria, pois não preserva as distâncias (não é uma transformação ortogonal seguida de uma translação).

Resposta

a) A função é uma isometria e pode ser escrita como , onde e são identidades.
b) A função é uma isometria e pode ser escrita como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal representada pela matriz:
c) A função não é uma isometria.

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onde e são constantes;
Considere os pontos e e os referenciais
.
Obtenha a isometria de tal que e , para .
Verifique que toda translação preserva orientação.