Verifique se as seguintes funções são isometrias de . Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
a) ,
b) ;
c) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se certas funções são isometrias em . Uma isometria é uma transformação que preserva distâncias entre pontos. Para ser uma isometria, a função deve ser uma combinação de translação e uma transformação ortogonal (como rotações ou reflexões). Precisaremos verificar isso para cada função fornecida:
a)
b)
c)
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos ver o que essa função faz. Ela pega um ponto e o mapeia para , ou seja, não faz nenhuma mudança. Isso é uma identidade, que é uma transformação que não altera o ponto.
Passo 3
Para verificar se é uma isometria, precisamos ver se preserva as distâncias. Como a função não altera nenhum ponto, claramente ela preserva as distâncias.
Passo 4
Agora, para expressar essa função como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal, notamos que não há translação nem transformação ortogonal envolvida, ou seja, a translação é a identidade e a transformação ortogonal também é a identidade.
Passo 5
Portanto, a função pode ser escrita como:
onde é a translação identidade e é a transformação ortogonal identidade.
Passo 6
Parte b)
Vamos analisar cada componente da função:
A primeira coordenada é , que envolve uma reflexão no eixo e uma translação.
A segunda coordenada é , que é uma translação no eixo .
A terceira coordenada é , que é uma translação no eixo .
Passo 7
Primeiro, identificamos a parte de translação:
Agora, vamos identificar a transformação ortogonal . Observamos que há uma troca e mudança de sinal em algumas coordenadas, indicando uma rotação/reflexão.
Passo 8
A transformação ortogonal pode ser representada por uma matriz que rearranja e reflete as coordenadas:
Isso reflete e permuta as coordenadas conforme a função .
Passo 9
Portanto, a função pode ser escrita como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal :
onde:
Passo 10
Parte c)
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Passo 11
Observamos que a componente permanece a mesma, enquanto as componentes e são combinadas linearmente. Isso sugere que a transformação é uma rotação em torno do eixo .
Passo 12
Para verificar se é uma transformação ortogonal, precisamos verificar se a matriz associada é ortogonal, ou seja, se sua transposta é igual à sua inversa.
A matriz de é:
Passo 13
Calculando :
Como , a matriz não é ortogonal.
Passo 14
Portanto, a função não é uma isometria, pois não preserva as distâncias (não é uma transformação ortogonal seguida de uma translação).
Resposta
a) A função é uma isometria e pode ser escrita como , onde e são identidades.
b) A função é uma isometria e pode ser escrita como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal representada pela matriz: