Verifique se as seguintes funções são isometrias de R^3. Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
a) F(x, y, z)=(x, y, z), forall(x, y, z) in R^3,
b) F(x, y, z)=(2-y, z-3, x+1);
c) F(x, y, z)=1raiz2(x-z, raiz2 y, x+z).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se certas funções são isometrias em . Uma isometria é uma transformação que preserva distâncias entre pontos. Para ser uma isometria, a função deve ser uma combinação de translação e uma transformação ortogonal (como rotações ou reflexões). Precisaremos verificar isso para cada função fornecida:
a)
b)
c)

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos ver o que essa função faz. Ela pega um ponto e o mapeia para , ou seja, não faz nenhuma mudança. Isso é uma identidade, que é uma transformação que não altera o ponto.

Passo 3

Para verificar se é uma isometria, precisamos ver se preserva as distâncias. Como a função não altera nenhum ponto, claramente ela preserva as distâncias.

Passo 4

Agora, para expressar essa função como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal, notamos que não há translação nem transformação ortogonal envolvida, ou seja, a translação é a identidade e a transformação ortogonal também é a identidade.

Passo 5

Portanto, a função pode ser escrita como:
F = T circ O
onde é a translação identidade e é a transformação ortogonal identidade.

Passo 6

Parte b)
Vamos analisar cada componente da função:
  • A primeira coordenada é , que envolve uma reflexão no eixo e uma translação.
  • A segunda coordenada é , que é uma translação no eixo .
  • A terceira coordenada é , que é uma translação no eixo .

Passo 7

Primeiro, identificamos a parte de translação:
t = (2, -3, 1)
Agora, vamos identificar a transformação ortogonal . Observamos que há uma troca e mudança de sinal em algumas coordenadas, indicando uma rotação/reflexão.

Passo 8

A transformação ortogonal pode ser representada por uma matriz que rearranja e reflete as coordenadas:
O = 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0
Isso reflete e permuta as coordenadas conforme a função .

Passo 9

Portanto, a função F = T circ O pode ser escrita como a composição de uma translação T(x, y, z) = (x + 2, y - 3, z + 1) e uma transformação ortogonal :
onde:

Passo 10

Parte c) F(x, y, z) = ( x - zraiz2, y, x + zraiz2 )
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise:

Passo 11

Observamos que a componente permanece a mesma, enquanto as componentes e são combinadas linearmente. Isso sugere que a transformação é uma rotação em torno do eixo .

Passo 12

Para verificar se O = 1raiz2 1 & 0 & -1 0 & raiz2 & 0 1 & 0 & 1 é uma transformação ortogonal, precisamos verificar se a matriz associada é ortogonal, ou seja, se sua transposta é igual à sua inversa.
A matriz de é:

Passo 13

Calculando O^T O = 12 1 & 0 & 1 0 & raiz2 & 0 -1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & raiz2 & 0 1 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 :
Como , a matriz não é ortogonal.

Passo 14

Portanto, a função não é uma isometria, pois não preserva as distâncias (não é uma transformação ortogonal seguida de uma translação).

Resposta

a) A função O = 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 é uma isometria e pode ser escrita como , onde e são identidades.
b) A função é uma isometria e pode ser escrita como a composição de uma translação e uma transformação ortogonal representada pela matriz:
c) A função não é uma isometria.

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