Prove que toda isometria
de
possui inversa
que também é uma isometria. Se
, obtenha
como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que toda isometria
em
tem uma inversa
que também é uma isometria. Além disso, se
for composta por uma translação
e uma transformação ortogonal
, precisamos encontrar
também como uma composição de translação e transformação ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são isometrias, inversas de funções, translações e transformações ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre os pontos. Em outras palavras, se você medir a distância entre dois pontos antes e depois da aplicação da isometria, esse valor não muda.
Passo 3
Sabemos que uma função tem uma inversa se for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como as isometrias preservam distâncias e são funções lineares ou combinações de funções lineares com translações, elas são bijetoras. Portanto, existe uma inversa
para toda isometria
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
também é uma isometria. Como
preserva distâncias, sua inversa também preserva, porque se a distância entre
e
é igual à distância entre
e
, então a distância entre
e
também é preservada. Logo,
é uma isometria.
Passo 5
Agora, suponhamos que
, onde
é uma translação por um vetor
e
é uma transformação ortogonal (como uma rotação ou reflexão). Queremos encontrar
como uma composição de uma translação e uma transformação ortogonal.
Passo 6
Sabemos que a inversa de uma translação
é a translação na direção oposta, ou seja,
. Além disso, a inversa de uma transformação ortogonal
é sua transposta
, já que para matrizes ortogonais
.
Passo 7
Portanto, a inversa de
será
. Isso significa que para encontrar
, primeiro aplicamos a translação inversa
e depois aplicamos a transformação ortogonal inversa
.
Resposta
A inversa
de toda isometria
em
é dada por
, que também é uma composição de uma translação e uma transformação ortogonal.
Exercícios relacionados
Seja
uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva
tal que
e
são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de
satisfazem a uma relação da forma
onde
e
são constantes;
Determine a curva cuja curvatura é dada pela função
,
, e a torção
.
Verifique se as seguintes funções são isometrias de
. Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
a) ,
b) ;
c) .
a)
b)
c)
Considere os pontos
e
e os referenciais
.
Obtenha a isometria de
tal que
e
, para
.
Obtenha a isometria