Prove que toda isometria de possui inversa que também é uma isometria. Se , obtenha como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que toda isometria em tem uma inversa que também é uma isometria. Além disso, se for composta por uma translação e uma transformação ortogonal , precisamos encontrar também como uma composição de translação e transformação ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são isometrias, inversas de funções, translações e transformações ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre os pontos. Em outras palavras, se você medir a distância entre dois pontos antes e depois da aplicação da isometria, esse valor não muda.

Passo 3

Sabemos que uma função tem uma inversa se for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Como as isometrias preservam distâncias e são funções lineares ou combinações de funções lineares com translações, elas são bijetoras. Portanto, existe uma inversa para toda isometria .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que também é uma isometria. Como preserva distâncias, sua inversa também preserva, porque se a distância entre e é igual à distância entre e , então a distância entre e também é preservada. Logo, é uma isometria.

Passo 5

Agora, suponhamos que , onde é uma translação por um vetor e é uma transformação ortogonal (como uma rotação ou reflexão). Queremos encontrar como uma composição de uma translação e uma transformação ortogonal.

Passo 6

Sabemos que a inversa de uma translação é a translação na direção oposta, ou seja, . Além disso, a inversa de uma transformação ortogonal é sua transposta , já que para matrizes ortogonais .

Passo 7

Portanto, a inversa de será . Isso significa que para encontrar , primeiro aplicamos a translação inversa e depois aplicamos a transformação ortogonal inversa .

Resposta

A inversa de toda isometria em é dada por , que também é uma composição de uma translação e uma transformação ortogonal.

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Seja uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que existe uma curva tal que e são curvas de Bertrand se, e só se, a curvatura e a torção de satisfazem a uma relação da forma
onde e são constantes;
Determine a curva cuja curvatura é dada pela função , , e a torção .
Verifique se as seguintes funções são isometrias de . Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
a) ,
b) ;
c) .
Considere os pontos e e os referenciais
.
Obtenha a isometria de tal que e , para .