Determine: lim x infty raiz[3](1+27 x)^x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão .
Conteúdo da matéria: Esse problema envolve limites e propriedades de potências. Para resolvê-lo, vamos utilizar a definição de limite e algumas regras de manipulação de exponenciais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. A expressão é (1+27x)^x approx e^27 .
Quando temos algo na forma e tende ao infinito, sabemos que isso se aproxima de , onde é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Nesse caso, , então:

Passo 3

Agora, voltamos à expressão original com a raiz cúbica:
raiz[3](1+27x)^x approx raiz[3]e^27
Lembrando que raiz[3]e^27 = e^27 times 13 = e^221 é o mesmo que , porque a raiz cúbica é equivalente a elevar à potência de :

Passo 4

Finalmente, ao tomar o limite quando lim x infty raiz[3](1+27x)^x = e^221 tende ao infinito, a nossa aproximação se torna exata:

Resposta

O limite é .

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