Considere uma população de ratos que habitam uma certa área rural. Vamos supor que na ausência de predadores, a população de ratos crescer a uma taxa proporcional à população atual. Essa hipótese não é uma lei física muito bem estabelecida (como a segunda lei de Newton), mas é uma hipótese inicial usual em um estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o tempo por
e a população de ratos por
então a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equação
onde o fator de proporcionalidade
é chamado de taxa de crescimento. Agora, suponha que
e que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Incorpore essas informações ao modelo e escreva uma equação diferencial que descreva o crescimento populacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma população de ratos que cresce numa área rural sem predadores, e queremos modelar esse crescimento. A gente vai usar matemática, mais especificamente equações diferenciais, para descrever como a população de ratos muda com o tempo. Além disso, tem umas corujas que estão na área e matam 15 ratos por dia. Então, precisamos ajustar nossa equação para levar isso em conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação que descreve o crescimento populacional sem predadores. Essa equação é:
Aqui,
é a população de ratos no tempo
, e
é a taxa de crescimento. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, precisamos incorporar o efeito das corujas que matam 15 ratos por dia. Isso significa que, além do crescimento natural da população, há uma diminuição constante de 15 ratos por dia.
Passo 4
Para incluir isso na equação, vamos subtrair esse valor constante da taxa de variação da população. Então, a nova equação fica assim:
Passo 5
Substituindo o valor de
na equação, temos:
Resposta
A equação diferencial que descreve o crescimento populacional dos ratos, considerando as corujas que matam 15 ratos por dia, é: