Considere uma população de ratos que habitam uma certa área rural. Vamos supor que na ausência de predadores, a população de ratos crescer a uma taxa proporcional à população atual. Essa hipótese não é uma lei física muito bem estabelecida (como a segunda lei de Newton), mas é uma hipótese inicial usual em um estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o tempo por t e a população de ratos por p(t) então a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equação
d/p dt = r p
onde o fator de proporcionalidade r é chamado de taxa de crescimento. Agora, suponha que r = 0.5 e que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Incorpore essas informações ao modelo e escreva uma equação diferencial que descreva o crescimento populacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma população de ratos que cresce numa área rural sem predadores, e queremos modelar esse crescimento. A gente vai usar matemática, mais especificamente equações diferenciais, para descrever como a população de ratos muda com o tempo. Além disso, tem umas corujas que estão na área e matam 15 ratos por dia. Então, precisamos ajustar nossa equação para levar isso em conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação que descreve o crescimento populacional sem predadores. Essa equação é:
Aqui, é a população de ratos no tempo , e é a taxa de crescimento. No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos incorporar o efeito das corujas que matam 15 ratos por dia. Isso significa que, além do crescimento natural da população, há uma diminuição constante de 15 ratos por dia.

Passo 4

Para incluir isso na equação, vamos subtrair esse valor constante da taxa de variação da população. Então, a nova equação fica assim:

Passo 5

Substituindo o valor de na equação, temos:

Resposta

A equação diferencial que descreve o crescimento populacional dos ratos, considerando as corujas que matam 15 ratos por dia, é:

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