Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que isso significa? Basicamente, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de potências de :
O problema dado é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar encontrar os coeficientes dessa série para satisfazer a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever , e usando a série de potências:
Passo 3
Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Vamos distribuir :
Passo 4
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com :
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Passo 5
Agora, juntamos todas as somas:
Para combinar as somas, observamos que todas estão em termos de , então podemos igualar os coeficientes de cada potência de a zero.
Passo 6
Igualando os coeficientes de a zero para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e :
:
:
Então, temos e .
Passo 8
Usando a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para :
Para :
Continuando esse processo, podemos encontrar mais coeficientes conforme necessário.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências: