Resolva o problema de valor inicial através de uma série de potências.
(1-x) y'' + x y' - y = 0; y(0) = -3; y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando uma série de potências. O que isso significa? Basicamente, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de potências de :
O problema dado é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar encontrar os coeficientes dessa série para satisfazer a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever , e usando a série de potências:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Vamos distribuir :

Passo 4

Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:

Passo 5

Agora, juntamos todas as somas:
Para combinar as somas, observamos que todas estão em termos de , então podemos igualar os coeficientes de cada potência de a zero.

Passo 6

Igualando os coeficientes de a zero para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e :
  1. :
  1. :
Então, temos e .

Passo 8

Usando a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para :
Para :
Continuando esse processo, podemos encontrar mais coeficientes conforme necessário.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada pela série de potências:

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