Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do segundo grau com condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação e depois resolver para , que é a transformada de . No final, vamos tirar a Transformada Inversa para achar .
Passo 2
Primeiro, aplique a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Passo 3
Lembrando das propriedades da Transformada de Laplace:
Passo 4
Substituindo as condições iniciais e na equação transformada:
Simplificando:
Passo 5
Agrupando os termos com :
Isolando :
Passo 6
Vamos simplificar o denominador , que é igual a . Então:
Passo 7
Agora, separamos a fração para facilitar a Transformada Inversa:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo: