Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y'' + 2y' + y = 4e^(-t), y(0) = 2, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do segundo grau com condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação e depois resolver para , que é a transformada de . No final, vamos tirar a Transformada Inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, aplique a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:

Passo 3

Lembrando das propriedades da Transformada de Laplace:

Passo 4

Substituindo as condições iniciais e na equação transformada:
Simplificando:

Passo 5

Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 6

Vamos simplificar o denominador , que é igual a . Então:

Passo 7

Agora, separamos a fração para facilitar a Transformada Inversa:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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d/p dt = r p
onde o fator de proporcionalidade r é chamado de taxa de crescimento. Agora, suponha que r = 0.5 e que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos por dia. Incorpore essas informações ao modelo e escreva uma equação diferencial que descreva o crescimento populacional.
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