Considere uma porta de 2 por 1 m de 20 kg. Ela está presa ao marco via duas dobradiças, bem ajustadas, às alturas de 20 cm e 180 cm de tal forma que cada dobradiça sustenta metade do peso da porta. (a) Qual é a componente horizontal das forças que cada dobradiça faz sobre a porta? As componentes verticais não podem ser determinadas. (b) Uma força de 20 N é aplicada na altura de
na extremidade da porta, perpendicular à porta. Encontre as forças que cada dobradiça exerce sobre a porta. © Encontre também a aceleração da porta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma porta de 2 metros de altura por 1 metro de largura, com massa de 20 kg. Ela está presa ao marco com duas dobradiças, uma a 20 cm do chão e outra a 1,80 m de altura. Cada dobradiça segura metade do peso da porta. Vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças e momentos, para resolver as partes (a), (b) e ©.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a componente horizontal das forças que cada dobradiça exerce sobre a porta. Sabemos que a porta está em equilíbrio, então a soma das forças e a soma dos momentos devem ser zero.
Primeiro, a força que cada dobradiça exerce pode ter componentes vertical e horizontal. Como cada dobradiça sustenta metade do peso da porta, a componente vertical de cada força é:
Mas nos pedem a componente horizontal. Como a porta está em equilíbrio e sem aceleração horizontal, a soma das forças horizontais também deve ser zero. Isso significa que as componentes horizontais das forças das dobradiças se anulam mutuamente. Portanto, a componente horizontal de cada dobradiça é igual e contrária:
Sem mais informações, não podemos determinar o valor exato dessas componentes horizontais, apenas que elas se cancelam.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): uma força de 20 N é aplicada a 1,5 m da base da porta, perpendicularmente a ela. Queremos encontrar as forças que cada dobradiça exerce sobre a porta.
Vamos considerar os momentos em relação a um dos pontos de apoio para eliminar uma das forças. Vamos calcular os momentos em relação à dobradiça de 20 cm.
O torque devido à força aplicada é:
A força vertical na outra dobradiça (1,80 m) causará um torque no sentido oposto:
Para que a porta esteja em equilíbrio, a soma dos torques deve ser zero:
Resolvendo para
:
O sinal negativo indica que a direção da força é oposta ao assumido inicialmente.
Passo 4
Finalmente, a parte ©: encontrar a aceleração da porta. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação:
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia da porta em relação ao eixo das dobradiças. Considerando a porta como uma placa retangular girando em um dos seus lados:
O torque resultante é devido à força aplicada:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Resposta
(a) A componente horizontal das forças de cada dobradiça é aproximadamente
.
(b) As forças que cada dobradiça exerce sobre a porta são de aproximadamente
verticalmente e
horizontalmente.
© A aceleração angular da porta é aproximadamente
.
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