A partir do momento de inércia de uma esfera maciça com relação a eixos que passem pelo centro de massa, encontre o momento de inércia de (a) uma esfera oca com raios R / 2 e R e de (b) de uma casca esférica de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o momento de inércia de duas formas esféricas diferentes, partindo do momento de inércia de uma esfera maciça em relação a eixos que passam pelo centro de massa. Vamos precisar entender o que é momento de inércia, lembrar a fórmula da esfera maciça e adaptar para as formas dadas: uma esfera oca com raios e , e uma casca esférica de raio .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para uma esfera maciça com massa Iesfera maciça = 25MR^2 e raio , o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro é dado por:
ç

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): encontrar o momento de inércia de uma esfera oca com dois raios, (interna) e (externa). Essa esfera oca é como uma “casca” com espessura. Podemos pensar nela como a diferença entre uma esfera maciça com raio e outra com raio .

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia da esfera externa e subtrair o da esfera interna. Usando a fórmula da esfera maciça:
Iexterna = 25M R^2
Iinterna = 25M (R2)^2 = 25M R^24 = 220MR^2 = 110MR^2

Passo 5

Agora, a esfera oca terá o momento de inércia da externa menos o da interna:
Iocca = Iexterna - Iinterna = 25MR^2 - 110MR^2 = 410MR^2 - 110MR^2 = 310MR^2

Passo 6

Passando para a parte (b): uma casca esférica de raio Icasca = 23MR^2 . Uma casca esférica é uma esfera perfeitamente oca, sem espessura. A fórmula do momento de inércia para uma casca esférica é mais simples, pois toda a massa está distribuída à distância do centro.
A fórmula é:

Resposta

(a) O momento de inércia da esfera oca com raios e é .
(b) O momento de inércia da casca esférica de raio é .

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