A partir do momento de inércia de uma esfera maciça com relação a eixos que passem pelo centro de massa, encontre o momento de inércia de (a) uma esfera oca com raios
e
e de (b) de uma casca esférica de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o momento de inércia de duas formas esféricas diferentes, partindo do momento de inércia de uma esfera maciça em relação a eixos que passam pelo centro de massa. Vamos precisar entender o que é momento de inércia, lembrar a fórmula da esfera maciça e adaptar para as formas dadas: uma esfera oca com raios
e
, e uma casca esférica de raio
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para uma esfera maciça com massa
e raio
, o momento de inércia
em relação a um eixo que passa pelo centro é dado por:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): encontrar o momento de inércia de uma esfera oca com dois raios,
(interna) e
(externa). Essa esfera oca é como uma “casca” com espessura. Podemos pensar nela como a diferença entre uma esfera maciça com raio
e outra com raio
.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia da esfera externa e subtrair o da esfera interna. Usando a fórmula da esfera maciça:
Passo 5
Agora, a esfera oca terá o momento de inércia da externa menos o da interna:
Passo 6
Passando para a parte (b): uma casca esférica de raio
. Uma casca esférica é uma esfera perfeitamente oca, sem espessura. A fórmula do momento de inércia para uma casca esférica é mais simples, pois toda a massa está distribuída à distância
do centro.
A fórmula é:
Resposta
(a) O momento de inércia da esfera oca com raios
e
é
.
(b) O momento de inércia da casca esférica de raio
é
.
Exercícios relacionados
Considere uma porta de 2 por 1 m de 20 kg. Ela está presa ao marco via duas dobradiças, bem ajustadas, às alturas de 20 cm e 180 cm de tal forma que cada dobradiça sustenta metade do peso da porta. (a) Qual é a componente horizontal das forças que cada dobradiça faz sobre a porta? As componentes verticais não podem ser determinadas. (b) Uma força de 20 N é aplicada na altura de
na extremidade da porta, perpendicular à porta. Encontre as forças que cada dobradiça exerce sobre a porta. © Encontre também a aceleração da porta.
Há uma viga de 5,0 m na horizontal com massa de 400 kg. Ela é suportada por dois pilares, um na extremidade esquerda e outro à distância de
da extremidade direita. Qual é a força que cada pilar exerce sobre a viga? Suponha que as forças são verticais.
Se um malabarista joga uma barra para cima e deseja que ela dê duas voltas completas ao chegar novamente na mesma altura em sua mão, qual deve ser o produto entre as velocidades inicias angular e linear do centro de massa?
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta
a
.