Considere a porta
, que é definida como:
A porta
é amplamente utilizada na computação quântica devido às suas propriedades unitárias e sua relação com outras portas, como
e
. Resolva os itens abaixo:
(a) Propriedade Unitária: Mostre que
é unitária, isto é, prove que:
(b) Ação sobre um Estado Geral: Seja
, onde
1. Mostre que a ação da porta
é:
© Ciclo de 8 Iterações: Demonstre que
.
(d) Relação com a Porta
: Sabendo que
, prove que:
(e) Validação como Operador Unitário: Mostre que a probabilidade total após a aplicação de
a um estado normalizado
é igual a 1. Para isso, calcule
.
(f) Comutatividade com
: Seja
. Mostre que
e
comutam, ou seja:
(g) Produto de Portas: Calcule o resultado do seguinte produto de portas aplicado ao estado
:
(h) Ação Combinada com
: Calcule a ação combinada das portas
(Hadamard) e
sobre o estado
. Isto é:
(a) Propriedade Unitária: Mostre que
(d) Relação com a Porta
(f) Comutatividade com
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Estamos trabalhando com a porta $ T $, que é definida pela matriz:
Essa porta é muito utilizada na computação quântica por ser unitária e por estar relacionada com outras portas como $ S $ e $ Z $. O exercício pede para resolver vários itens que exploram essas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que são portas unitárias, como elas atuam sobre estados quânticos, e conceitos como comutatividade e ciclos de iteração.
Passo 2
Item (a) Propriedade Unitária
Primeiro, vamos mostrar que $ T $ é uma porta unitária. Uma matriz é unitária se o produto dela com seu adjunto (conjugado transposto) resultar na matriz identidade $ I $. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos calcular $ T^{\dagger} $. Como $ T $ é diagonal, seu adjunto é simplesmente a conjugada dos elementos diagonais:
Agora, multiplicamos $ T^{\dagger} $ por $ T $:
Portanto, $ T $ é unitária.
Passo 3
Item (b) Ação sobre um Estado Geral
Vamos ver como a porta $ T $ atua sobre um estado quântico geral $ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $, onde $ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $.
Aplicando $ T $ em $ |\psi\rangle $:
Sabemos que $ T|0\rangle = |0\rangle $ e $ T|1\rangle = e^{i \pi / 4}|1\rangle $. Então:
Portanto, a ação da porta $ T $ é multiplicar o coeficiente do estado $ |1\rangle $ por $ e^{i \pi / 4} $.
Passo 4
Item © Ciclo de 8 Iterações
Queremos demonstrar que $ T^8 = I $. Para isso, vamos elevar a matriz $ T $ à oitava potência.
Lembrando que $ T $ é diagonal:
Sabemos que $ e^{i 2\pi} = 1 $, então:
Portanto, $ T^8 = I $.
Passo 5
Item (d) Relação com a Porta $ S $
Sabendo que $ S = T^2 $, vamos calcular $ T^2 $ e mostrar que:
Calculando $ T^2 $:
Sabemos que $ e^{i \pi / 2} = i $, então:
Portanto, $ S = T^2 $.
Passo 6
Item (e) Validação como Operador Unitário
Vamos mostrar que a probabilidade total após a aplicação de $ T $ a um estado normalizado $ |\psi\rangle $ é igual a 1. Ou seja, calcular $ \langle\psi| T^{\dagger} T |\psi\rangle $.
Como $ T $ é unitária, sabemos que $ T^{\dagger} T = I $. Então:
Portanto, a probabilidade total permanece 1 após a aplicação de $ T $.
Passo 7
Item (f) Comutatividade com $ Z $
Queremos mostrar que $ T $ e $ Z $ comutam, ou seja, $ T Z = Z T $.
Primeiro, lembrando que:
Calculando $ T Z $:
Calculando $ Z T $:
Como $ T Z = Z T $, as portas comutam.
Passo 8
Item (g) Produto de Portas
Queremos calcular o resultado de:
Primeiro, lembrando que $ S = T^2 $ e $ T^{\dagger} = T^{-1} $, já que $ T $ é unitária.
Calculando $ T^{3} S T^{\dagger} $:
Agora, $ T^{4} $ é:
Aplicando $ Z $ no estado $ |0\rangle $:
Portanto, o resultado é $ |0\rangle $.
Passo 9
Item (h) Ação Combinada com $ H $
Vamos calcular a ação combinada das portas $ H $ (Hadamard) e $ T $ sobre o estado $ |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) $:
Primeiro, aplicamos $ H $ em $ |+\rangle $. Sabendo que $ H|+\rangle = |0\rangle $ (já que $ |+\rangle $ é um estado próprio de $ H $):
Agora, aplicamos $ T $ em $ |0\rangle $:
Portanto:
Resposta
a) $ T $ é unitária porque $ T^{\dagger} T = I $.
b) A ação de $ T $ sobre $ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $ resulta em $ T|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta e^{i \pi / 4}|1\rangle $.
c) $ T^8 = I $.
d) A porta $ S $ é dada por $ S = T^2 = \left(
\right) $.
e) A probabilidade total após a aplicação de $ T $ é 1, ou seja, $ \langle\psi| T^{\dagger} T |\psi\rangle = 1 $.
f) As portas $ T $ e $ Z $ comutam: $ T Z = Z T $.
g) $ T^{3} S T^{\dagger} |0\rangle = |0\rangle $.
h) A ação combinada das portas $ H $ e $ T $ sobre $ |+\rangle $ resulta em $ T H |+\rangle = |0\rangle $.