Encontre os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma tarefa pra encontrar os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e seus autovalores/autovetores. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como achar os autovalores e depois os autovetores de uma matriz. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada $ A $, um autovalor $ \lambda $ e um autovetor $ \vec{v} $ satisfazem a equação:
Para encontrar os autovalores, a gente resolve o determinante da matriz $ A - \lambda I $ igual a zero:
Vamos aplicar isso nas matrizes de Pauli.
Passo 3
As matrizes de Pauli são três matrizes $ 2 \times 2 $ usadas em mecânica quântica. Elas são:
Vamos encontrar os autovalores e autovetores de cada uma delas.
Passo 4
Para $ \sigma_x $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_x - \lambda I) = 0 $:
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
- Para $ \lambda = 1 $:
Isso dá $ v_1 = v_2 $. Então, um autovetor é $
$.
- Para $ \lambda = -1 $:
Isso dá $ v_1 = -v_2 $. Então, um autovetor é $
$.
Passo 5
Para $ \sigma_y $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_y - \lambda I) = 0 $:
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
- Para $ \lambda = i $:
Isso dá $ v_1 = -v_2 $. Então, um autovetor é $
$.
- Para $ \lambda = -i $:
Isso dá $ v_1 = v_2 $. Então, um autovetor é $
$.
Passo 6
Para $ \sigma_z $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_z - \lambda I) = 0 $:
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
- Para $ \lambda = 1 $:
Isso dá $ v_1 $ livre e $ v_2 = 0 $. Então, um autovetor é $
$.
- Para $ \lambda = -1 $:
Isso dá $ v_1 = 0 $ e $ v_2 $ livre. Então, um autovetor é $
$.
Resposta
Autovalores e Autovetores das Matrizes de Pauli:
-
$ \sigma_x $
- Autovalores: $ 1 $, $ -1 $
- Autovetores:
- Para $ \lambda = 1 $: $
$ - Para $ \lambda = -1 $: $
$
- Para $ \lambda = 1 $: $
-
$ \sigma_y $
- Autovalores: $ i $, $ -i $
- Autovetores:
- Para $ \lambda = i $: $
$ - Para $ \lambda = -i $: $
$
- Para $ \lambda = i $: $
-
$ \sigma_z $
- Autovalores: $ 1 $, $ -1 $
- Autovetores:
- Para $ \lambda = 1 $: $
$ - Para $ \lambda = -1 $: $
$
- Para $ \lambda = 1 $: $