Encontre os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma tarefa pra encontrar os autovalores e autovetores das matrizes de Pauli. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e seus autovalores/autovetores. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como achar os autovalores e depois os autovetores de uma matriz. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada $ A $, um autovalor $ \lambda $ e um autovetor $ \vec{v} $ satisfazem a equação:
A
Para encontrar os autovalores, a gente resolve o determinante da matriz $ A - \lambda I $ igual a zero:
lambda
Vamos aplicar isso nas matrizes de Pauli.

Passo 3

As matrizes de Pauli são três matrizes $ 2 \times 2 $ usadas em mecânica quântica. Elas são:
2 times 2
Vamos encontrar os autovalores e autovetores de cada uma delas.

Passo 4

Para $ \sigma_x $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_x - \lambda I) = 0 $:
sigmax
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
  1. Para $ \lambda = 1 $:
det(sigmax - lambda I) = 0
Isso dá $ v_1 = v_2 $. Então, um autovetor é $ det( -lambda & 1 1 & -lambda ) = lambda^2 - 1 = 0 implies lambda = pm 1 $.
  1. Para $ \lambda = -1 $:
lambda
Isso dá $ v_1 = -v_2 $. Então, um autovetor é $ v $.

Passo 5

Para $ \sigma_y $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_y - \lambda I) = 0 $:
sigmay
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
  1. Para $ \lambda = i $:
det(sigmay - lambda I) = 0
Isso dá $ v_1 = -v_2 $. Então, um autovetor é $ det( -lambda & -i i & -lambda ) = lambda^2 + 1 = 0 implies lambda = pm i $.
  1. Para $ \lambda = -i $:
lambda
Isso dá $ v_1 = v_2 $. Então, um autovetor é $ v $.

Passo 6

Para $ \sigma_z $:
Primeiro, achamos os autovalores resolvendo $ \det(\sigma_z - \lambda I) = 0 $:
sigmaz
Agora, para cada $ \lambda $, encontramos $ \vec{v} $:
  1. Para $ \lambda = 1 $:
det(sigmaz - lambda I) = 0
Isso dá $ v_1 $ livre e $ v_2 = 0 $. Então, um autovetor é $ det( 1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda ) = (1 - lambda)(-1 - lambda) = - (1 - lambda)(1 + lambda) = - (1 - lambda^2) = lambda^2 -1 = 0 implies lambda = pm 1 $.
  1. Para $ \lambda = -1 $:
lambda
Isso dá $ v_1 = 0 $ e $ v_2 $ livre. Então, um autovetor é $ v $.

Resposta

Autovalores e Autovetores das Matrizes de Pauli:
  1. $ \sigma_x $
    • Autovalores: $ 1 $, $ -1 $
    • Autovetores:
      • Para $ \lambda = 1 $: $ sigmax $
      • Para $ \lambda = -1 $: $ 1 $
  2. $ \sigma_y $
    • Autovalores: $ i $, $ -i $
    • Autovetores:
      • Para $ \lambda = i $: $ -1 $
      • Para $ \lambda = -i $: $ lambda = 1 $
  3. $ \sigma_z $
    • Autovalores: $ 1 $, $ -1 $
    • Autovetores:
      • Para $ \lambda = 1 $: $ 1 1 $
      • Para $ \lambda = -1 $: $ lambda = -1 $

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