Mostre que o produto tensorial de dois operadores unitários é unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto tensorial de dois operadores unitários também é unitário. Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente operadores unitários e produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa um operador ser unitário e como funciona o produto tensorial entre operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador unitário. Um operador $ U $ é unitário se ele satisfaz a condição:
U
Aqui, $ U^\dagger $ é o adjunto de $ U $ e $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que o operador preserva o produto interno, ou seja, mantém o “tamanho” e “ângulo” dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto tensorial de dois operadores. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial $ A \otimes B $ é um novo operador que atua no espaço tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam. Basicamente, ele combina as ações de $ A $ e $ B $ de maneira independente.

Passo 4

Para mostrar que $ A \otimes B $ é unitário, precisamos verificar se:
A otimes B
Sabemos que o adjunto de um produto tensorial é o produto tensorial dos adjuntos, ou seja:
(A otimes B)^dag>=r (A otimes B) = I

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os adjuntos:
(A otimes B)^dag>=r (A otimes B) = (A^dag>=r otimes B^dag>=r)(A otimes B)
Usando a propriedade do produto tensorial, isso se torna:
(A^dag>=r A) otimes (B^dag>=r B)

Passo 6

Como $ A $ e $ B $ são unitários, temos que:
A
Substituindo na expressão anterior:
B
Isso mostra que:
A^dag>=r A = I e B^dag>=r B = I

Resposta

Portanto, o produto tensorial de dois operadores unitários $ A $ e $ B $ é, de fato, um operador unitário.

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