Mostre que o produto tensorial de dois operadores unitários é unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto tensorial de dois operadores unitários também é unitário. Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente operadores unitários e produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa um operador ser unitário e como funciona o produto tensorial entre operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador unitário. Um operador $ U $ é unitário se ele satisfaz a condição:
Aqui, $ U^\dagger $ é o adjunto de $ U $ e $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que o operador preserva o produto interno, ou seja, mantém o “tamanho” e “ângulo” dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o produto tensorial de dois operadores. Se temos dois operadores $ A $ e $ B $, o produto tensorial $ A \otimes B $ é um novo operador que atua no espaço tensorial dos espaços onde $ A $ e $ B $ atuam. Basicamente, ele combina as ações de $ A $ e $ B $ de maneira independente.
Passo 4
Para mostrar que $ A \otimes B $ é unitário, precisamos verificar se:
Sabemos que o adjunto de um produto tensorial é o produto tensorial dos adjuntos, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os adjuntos:
Usando a propriedade do produto tensorial, isso se torna:
Passo 6
Como $ A $ e $ B $ são unitários, temos que:
Substituindo na expressão anterior:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto, o produto tensorial de dois operadores unitários $ A $ e $ B $ é, de fato, um operador unitário.