Determine o domínio da função
. Mediante cálculo de limites, determine as assíntotas (verticais e horizontais).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função
e, usando cálculo de limites, encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais, exponenciais, domínio de funções, e assíntotas. Também vamos usar propriedades de limites para encontrar essas assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de uma função racional como
, a função está indefinida quando o denominador é igual a zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Vamos encontrar os valores de
que tornam o denominador zero:
Para resolver
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, a função não está definida quando
.
Passo 3
Expressar o domínio da função.
Como a fun��ão está indefinida apenas em
, o domínio será todos os números reais exceto
.
Em notação de intervalo:
Passo 4
Determinar as assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador se aproxima de zero, mas o numerador não se anula.
Já encontramos que
quando
. Vamos verificar o comportamento da função próximo a esse ponto.
Calculando os limites laterais:
Isso indica que há uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Determinar as assíntotas horizontais.
Assíntotas horizontais representam o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular os limites correspondentes.
- Quando
:
Dividindo numerador e denominador por
:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
- Quando
:
Novamente, dividindo por
:
Portanto, também há uma assíntota horizontal em
quando
.
Resposta
O domínio da função
é
. As assíntotas verticais ocorrem em
e a assíntota horizontal é a reta
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Considere que a posição de uma partícula segue a lei
, onde
é dado em metros e
em segundos. Determine a velocidade e a aceleração em função de
; a aceleração no instante 2 segundos e a aceleração quando a velocidade é nula.
Determine a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem da função definida por
.