Determine o domínio da função . Mediante cálculo de limites, determine as assíntotas (verticais e horizontais).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função e, usando cálculo de limites, encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais, exponenciais, domínio de funções, e assíntotas. Também vamos usar propriedades de limites para encontrar essas assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de uma função racional como , a função está indefinida quando o denominador é igual a zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Vamos encontrar os valores de que tornam o denominador zero:
Para resolver , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, a função não está definida quando .

Passo 3

Expressar o domínio da função.
Como a fun��ão está indefinida apenas em , o domínio será todos os números reais exceto .
Em notação de intervalo:
í

Passo 4

Determinar as assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador se aproxima de zero, mas o numerador não se anula.
Já encontramos que quando . Vamos verificar o comportamento da função próximo a esse ponto.
Calculando os limites laterais:
Isso indica que há uma assíntota vertical em .

Passo 5

Determinar as assíntotas horizontais.
Assíntotas horizontais representam o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular os limites correspondentes.
  1. Quando :
Dividindo numerador e denominador por :
Então, há uma assíntota horizontal em .
  1. Quando :
Novamente, dividindo por :
Portanto, também há uma assíntota horizontal em quando .

Resposta

O domínio da função é . As assíntotas verticais ocorrem em e a assíntota horizontal é a reta .

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