Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como máximos ou mínimos. Além disso, vamos determinar em quais intervalos o gráfico da função é côncavo para cima, côncavo para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, tanto a primeira quanto a segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajudará a identificar os pontos críticos. A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Essa é uma equação quadrática. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Então, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como , isso significa que é um mínimo local.
  • Para :
Como , isso significa que é um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os possíveis pontos de inflexão. Já temos a segunda derivada:
Para encontrar onde a concavidade muda, vamos resolver :
Esse valor de é um ponto de inflexão se a concavidade realmente muda de sinal.
  • Para :
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para :
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, o ponto de inflexão está em .

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo local) e (mínimo local). O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo e côncavo para cima no intervalo . Há um ponto de inflexão em .

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